Question

7．若數(shù)列{a_n}滿足log_aa_n+1=1+log_aa_n（a＞0，a≠1），已知a為常數(shù)，且a₁+a₂+…+a₁₀₀=100，則
a₂+a₄+…+a₉₈+a₁₀₀=$\frac{100a}{1+a}$．

Answer 1

分析 由條件可得{log_aa_n}是首項(xiàng)為log_aa₁，公差為1的等差數(shù)列，運(yùn)用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可得log_aa_n=log_aa₁+n-1，
可得a_n=a₁•a^n-1，再由等比數(shù)列的求和公式，計(jì)算即可得到所求和．

解答 解：由log_aa_n+1=1+log_aa_n，可得：
{log_aa_n}是首項(xiàng)為log_aa₁，公差為1的等差數(shù)列，
即有l(wèi)og_aa_n=log_aa₁+n-1，
可得a_n=a₁•a^n-1，
由a₁+a₂+…+a₁₀₀=100，可得：
$\frac{{a}_{1}（1-{a}^{100}）}{1-a}$=100，
即有a₁=$\frac{100（1-a）}{1-{a}^{100}}$，
則a₂+a₄+…+a₉₈+a₁₀₀=$\frac{{a}_{1}a（1-{a}^{100}）}{1-{a}^{2}}$=$\frac{100（1-a）}{1-{a}^{100}}$•$\frac{a（1-{a}^{100}）}{1-{a}^{2}}$
=$\frac{100a}{1+a}$．
故答案為：$\frac{100a}{1+a}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式的運(yùn)用，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．