Question

15．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知向量$\overrightarrow{m}$=（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，-$\frac{\sqrt{2}}{2}$），$\overrightarrow{n}$=（sinx，cosx），x∈（0，$\frac{π}{2}$）．
（1）若$\overrightarrow{m}$⊥$\overrightarrow{n}$，求tanx的值；
（2）若$\overrightarrow{m}$與$\overrightarrow{n}$的夾角為$\frac{π}{3}$，求sinx+cosx的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)向量垂直的性質(zhì)得到坐標(biāo)的關(guān)系等式，求出tanx；
（2）利用數(shù)量積公式得到x的三角函數(shù)等式，結(jié)合平方關(guān)系求出sinx+cosx．

解答 解：（1）因$\overrightarrow{m}$⊥$\overrightarrow{n}$，所以$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$sinx-$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$cosx=0    …（2分）
所以tanx=1     …（5分）
（2）因?yàn)?\overrightarrow{m}$與$\overrightarrow{n}$的夾角為$\frac{π}{3}$，$\overrightarrow m•\overrightarrow n=\frac{{\sqrt{2}}}{2}sinx-\frac{{\sqrt{2}}}{2}cosx=\frac{1}{2}$，所以$sinx-cosx=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$①…（7分）
設(shè)sinx+cosx=a②
由①²+②²得a²=$\frac{3}{2}$      …（10分）
因x是銳角，所以a為正值，所以a=$\frac{{\sqrt{6}}}{2}$…（12分）

點(diǎn)評 本題考查了平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算以及向量垂直的性質(zhì)和三角函數(shù)的化簡求值；屬于基礎(chǔ)題．