Question

4．在一條筆直公路上有A，B兩地，甲騎自行車從A地到B地，乙騎著摩托車從B地到A地，到達(dá)A地后立即按原路返回，如圖是甲乙兩人離A地的距離y（km）與行駛時間x（h）之間的函數(shù)圖象，根據(jù)圖象解答以下問題：
（1）直接寫出y_甲，y_乙與x之間的函數(shù)關(guān)系式（不必寫過程），求出點M的坐標(biāo)，并解釋該點坐標(biāo)所表示的實際意義；
（2）若兩人之間的距離不超過5km時，能夠用無線對講機保持聯(lián)系，求在乙返回過程中有多少分鐘甲乙兩人能夠用無線對講機保持聯(lián)系；
（3）若甲乙兩人離A地的距離之積為f（x），求出函數(shù)f（x）的表達(dá)式，并求出它的最大值．

Answer 1

分析 （1）由圖形，結(jié)合一次函數(shù)的解析式的求法，可得所求解析式；再令y_甲=y_乙，求得M的坐標(biāo)，進(jìn)而得到幾何意義；
（2）令y_甲-y_乙≤5，解不等式可得x的范圍，進(jìn)而得到所求結(jié)論；
（3）運用分段函數(shù)的形式寫出f（x），再由二次函數(shù)的最值的求法，即可得到所求的最大值．

解答 解：（1）y_甲=20x，0≤x≤2；y_乙=$\left\{\begin{array}{l}{40-40x，0≤x≤1}\\{40x-40，1＜x≤2}\end{array}\right.$，
令y_甲=y_乙，可得20x=40-40x，解得x=$\frac{2}{3}$，
進(jìn)而y_甲=y_乙=$\frac{40}{3}$，即有M（$\frac{2}{3}$，$\frac{40}{3}$），
M的坐標(biāo)表示：甲乙經(jīng)過$\frac{2}{3}$h第一次相遇，此時離A距離$\frac{40}{3}$km；
（2）乙返回過程中，當(dāng)1＜x≤2時，乙與甲相距5km之內(nèi)，
即y_甲-y_乙≤5，即為20x-（40x-40）≤5，解得x≥$\frac{7}{4}$，即$\frac{7}{4}$≤x≤2，
則（2-$\frac{7}{4}$）×60=15分鐘，甲乙兩人能夠用無線對講機保持聯(lián)系；
（3）f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{20x（40-40x），0≤x≤1}\\{20x（40x-40），1＜x≤2}\end{array}\right.$=$\left\{\begin{array}{l}{-800（{x}^{2}-x），0≤x≤1}\\{800（{x}^{2}-x），1＜x≤2}\end{array}\right.$
=$\left\{\begin{array}{l}{-800（x-\frac{1}{2}）^{2}+200，0≤x≤1}\\{800（x-\frac{1}{2}）^{2}-200，1＜x≤2}\end{array}\right.$，
當(dāng)0＜x≤1時，f（x）的最大值為f（$\frac{1}{2}$）=200；
當(dāng)1＜x≤2時，f（x）遞增，f（2）為最大值，且為1600．
綜上可得f（x）的最大值為f（2）=1600．

點評 本題考查一次函數(shù)和二次函數(shù)的應(yīng)用題，考查函數(shù)的解析式的求法和圖形的理解，考查二次函數(shù)的最值的求法，屬于中檔題．