18.已知拋物線 y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F,過(guò)點(diǎn)F的直線l交拋物線于A,B兩點(diǎn),若A(3,y0)且|AF|=4,則△OAB的面積為( 。
A.$\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$B.$\frac{{4\sqrt{3}}}{3}$C.$\frac{{5\sqrt{3}}}{3}$D.$\sqrt{3}$

分析 利用拋物線C:y2=2px(p>0)上的一點(diǎn)A(3,y0)且|AF|=4,求出p的值,可得拋物線C的方程.設(shè)出直線方程,聯(lián)立拋物線方程,消去y得到關(guān)于x的二次方程,運(yùn)用韋達(dá)定理求出B的坐標(biāo),由面積公式求出△OAB的面積.

解答 解:依題意可知|AF|=3+$\frac{p}{2}$=4,∴p=2.故拋物線C的方程為:y2=4x
拋物線y2=4x的準(zhǔn)線方程為x=-1,
設(shè)B(x1,y1),
設(shè)直線AB的方程為y=k(x-1),
代入拋物線方程,消去y,得,k2x2-(2k2+4)x+k2=0,
∴3x1=1,∴x1=$\frac{1}{3}$,
∴|y1|=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$,
又|y0|=2$\sqrt{3}$
∴△OAB的面積=$\frac{1}{2}$|y0|×1+$\frac{1}{2}$|y1|×1=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$.
故選:B.

點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線的方程,考查直線與拋物線的位置關(guān)系,考查韋達(dá)定理的運(yùn)用,考查學(xué)生的計(jì)算能力,屬于中檔題.

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