Question

18．已知拋物線 y²=2px（p＞0）的焦點(diǎn)為F，過(guò)點(diǎn)F的直線l交拋物線于A，B兩點(diǎn)，若A（3，y₀）且|AF|=4，則△OAB的面積為（　�。�

• A． $\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$
• B． $\frac{{4\sqrt{3}}}{3}$
• C． $\frac{{5\sqrt{3}}}{3}$
• D． $\sqrt{3}$

Answer 1

分析 利用拋物線C：y²=2px（p＞0）上的一點(diǎn)A（3，y₀）且|AF|=4，求出p的值，可得拋物線C的方程．設(shè)出直線方程，聯(lián)立拋物線方程，消去y得到關(guān)于x的二次方程，運(yùn)用韋達(dá)定理求出B的坐標(biāo)，由面積公式求出△OAB的面積．

解答 解：依題意可知|AF|=3+$\frac{p}{2}$=4，∴p=2．故拋物線C的方程為：y²=4x
拋物線y²=4x的準(zhǔn)線方程為x=-1，
設(shè)B（x₁，y₁），
設(shè)直線AB的方程為y=k（x-1），
代入拋物線方程，消去y，得，k²x²-（2k²+4）x+k²=0，
∴3x₁=1，∴x₁=$\frac{1}{3}$，
∴|y₁|=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
又|y₀|=2$\sqrt{3}$
∴△OAB的面積=$\frac{1}{2}$|y₀|×1+$\frac{1}{2}$|y₁|×1=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線的方程，考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理的運(yùn)用，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．