Question

3．已知圓C與兩平行直線 x-y-8=0和x-y+4=0相切，圓心在直線2x+y-10=0上．
（1）求圓C的方程．
（2）過原點(diǎn)O做一條直線，交圓C于M，N兩點(diǎn)，求OM*ON的值．

Answer 1

分析 （1）利用待定系數(shù)法進(jìn)行求解即可．
（2）根據(jù)切割線定理，求出切線長即可．

解答 解：（1）設(shè)所求圓的方程是（x-a）²+（y-b）²=r²．
由題意知，兩平行線間距離d=$\frac{|-8-4|}{\sqrt{2}}=\frac{12}{\sqrt{2}}$=6$\sqrt{2}$，
又到兩平行直線距離相等的直線方程為：x-y-2=0
所以由$\left\{\begin{array}{l}{2x+y-10=0}\\{x-y-2=0}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{x=4}\\{y=2}\end{array}\right.$．即圓心坐標(biāo)為（4，2）．
所以圓C的方程為：（x-4）²+（y-2）²=18；
（2）設(shè)OT是圓的切線，切點(diǎn)為T，
則OT=$\sqrt{O{C}^{2}-C{T}^{2}}$=$\sqrt{20-18}$=$\sqrt{2}$，
則由切割線定理可得：OM*ON=OT²=2．

點(diǎn)評 本題主要考查圓的方程以及切割線定理的應(yīng)用，利用待定系數(shù)法求出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是解決本題的關(guān)鍵．