Question

4．已知函數(shù)f（x）=sin²x+cosx-1，$x∈[-\frac{π}{3}，\frac{2π}{3}]$．
（1）求y=f（x）的值域；
（2）若f（x）-a=0有兩個不相等的實根，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）先化簡函數(shù)的解析式，再根據(jù)余弦函數(shù)的值域，二次函數(shù)的性質(zhì)求得f（x）的最值，可得函數(shù)的值域．
（2）由題意可得函數(shù)f（x）的圖象和直線 y=a=0有兩個不同的交點，數(shù)形結(jié)合求得a的取值范圍．

解答 解：（1）∵f（x）=sin²x+cosx-1=-cos²x+cosx=-${（cosx-\frac{1}{2}）}^{2}$+$\frac{1}{4}$，
由$x∈[-\frac{π}{3}，\frac{2π}{3}]$，可得cosx∈[-$\frac{1}{2}$，1]，故當cosx=$\frac{1}{2}$時，函數(shù)f（x）取得最大值為$\frac{1}{4}$，
當cosx=-$\frac{1}{2}$時，函數(shù)f（x）取得最小值為-$\frac{3}{4}$，故函數(shù)的值域為[-$\frac{3}{4}$，$\frac{1}{4}$]．
（2）由題意可得函數(shù)f（x）的圖象和直線 y=a=0有兩個不同的交點．
令cosx=t，則g（t）=-${（t-\frac{1}{2}）}^{2}$+$\frac{1}{4}$ 在t∈[-$\frac{1}{2}$，1]上的圖象和直線y=a有兩個不同的交點，
故$a∈\{0，\frac{1}{4}\}$．

點評 本題主要考查余弦函數(shù)的值域，二次函數(shù)的性質(zhì)，方程根的存在性以及個數(shù)判斷，屬于中檔題．