Question

【題目】已知函數(shù)有極值，且導(dǎo)函數(shù)的極值點(diǎn)是的零點(diǎn)，給出命題：①；②若，則存在，使得；③若有兩個極值點(diǎn)，，則；④若，且是曲線,的一條切線，則的取值范圍是；則以上命題正確序號是______.

Answer 1

【答案】①②④

【解析】

由函數(shù)有極值，求得的范圍，同時有導(dǎo)函數(shù)的極值點(diǎn)是的零點(diǎn)求得的關(guān)系，判斷四個命題的真假，其中①由剛才的關(guān)系式就可判斷，②用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合零點(diǎn)存在定理可得，③可舉反例說明，④用已知得出在單調(diào)性，化簡函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出的表達(dá)式，從而求得其取值范圍．

由題意，，即．

設(shè)，則，由得，由是一次函數(shù)知是的極值點(diǎn)（本題是極小值點(diǎn)），即為的極值點(diǎn)，

所以，即．

①，①正確；

②顯然時，，

設(shè)的兩解為，即為的兩個極值點(diǎn)，則，中有一個小于1，一個大于1，不妨設(shè)，是極大值，而，若，則，在上在一個零點(diǎn)，當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，，因此在上有零點(diǎn)．

所以且．②正確；

③若，則極值為0和2，，③錯誤；

④由，知②中，因此在上遞增，，

，，設(shè)切點(diǎn)為，

則，即，整理得，

，因?yàn)?/span>，所以，又，解得，

，

由上知是增函數(shù)，所以當(dāng)時，．④正確．

故答案為：①②④．