Question

12．已知等腰△ABC，點D為腰AC上一點，滿足$\overrightarrow{BA}$+$\overrightarrow{BC}$=2$\overrightarrow{BD}$，且|$\overrightarrow{BD}$|=3，則△ABC面積的最大值為6．

Answer 1

分析 由已知可得C為AC中點，先在△ABD中利用余弦定理表示出cosA，進而求得sinA的表達式，然后代入三角形面積公式轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求解．

解答 解：∵等腰三角形ABC中，AB=AC，D是AC上一點，滿足$\overrightarrow{BA}$+$\overrightarrow{BC}$=2$\overrightarrow{BD}$，
故D為等腰三角形ABC腰AC上的中點，
又由|$\overrightarrow{BD}$|=3，
故cosA=$\frac{^{2}+（\frac{2}）^{2}-9}{2•b•\frac{2}}=\frac{5}{4}-\frac{9}{^{2}}$，
△ABC面積S=$\frac{1}{2}$b²•$\sqrt{1-（\frac{5}{4}-\frac{9}{^{2}}）^{2}}$=$\frac{1}{8}\sqrt{-9（^{2}-20）^{2}+2304}≤6$，
故答案為：6．

點評 本題考查平面向量的數(shù)量積運算，主要考查了余弦定理和正弦定理的運用．解題過程中充分利用好等腰三角形這個條件，屬中檔題．