Question

19．若不等邊銳角三角形的三個(gè)內(nèi)角成等差數(shù)列，則最大的邊與最小的邊的邊長(zhǎng)比值的取值范圍為（　　）

• A． （1，2）
• B． （1，3）
• C． （2，+∞）
• D． （3，+∞）

Answer 1

分析 設(shè)三角形的三邊從小到大依次為a，b，c，因?yàn)殇J角△ABC三內(nèi)角A、B、C的度數(shù)成等差數(shù)列得到B為60°，然后利用余弦定理表示出cosB得到一個(gè)關(guān)系式，根據(jù)三角形為銳角三角形得到a²+b²-c²＞0，把求得的關(guān)系式代入不等式即可求得最大邊c與最小邊a比值即m的范圍．

解答 解：設(shè)三角形的三邊從小到大依次為a，b，c，
因?yàn)槿齼?nèi)角的度數(shù)成等差數(shù)列，所以2B=A+C，則A+B+C=3B=180°
故可得B=60°，根據(jù)余弦定理得：cosB=cos60°=$\frac{1}{2}$=$\frac{{a}^{2}+^{2}-{c}^{2}}{2ab}$，于是b²=a²+c²-ac，
又因?yàn)椤鰽BC為銳角三角形，故a²+b²-c²＞0，
于是2a²-ac＞0，即$\frac{c}{a}$＜2，
∵c＞a，即：$\frac{c}{a}$＞1，
則m=$\frac{c}{a}$∈（1，2）．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 此題考查學(xué)生掌握等差數(shù)列的性質(zhì)及鈍角三角形三邊的平方關(guān)系，靈活運(yùn)用余弦定理化簡(jiǎn)求值，是一道中檔題．