Question

10．已知動點P到直線l：x=-1的距離等于它到圓C：x²+y²-4x+1=0的切線長（P到切點的距離），記動點P的軌跡為曲線E
（Ⅰ）求曲線E的方程；
（Ⅱ）點Q是直線l上的動點，過圓心C作QC的垂線交曲線E于A，B兩點，設AB的中點為D，求$\frac{|QD|}{|AB|}$的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設P（x，y），則|x+1|=$\sqrt{（x-2）^{2}+{y}^{2}-3}$，由此能求出曲線E的方程．
（Ⅱ）設直線AB的方程為my=x-2，則直線CQ的方程為y=-m（x-2），將my=x-2代入y²=6x，得：y²-6my-12=0，由此利用韋達定理、兩點間距離公式能求出$\frac{|QD|}{|AB|}$的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）由已知得圓心為C（2，0），半徑r=$\sqrt{3}$，
設P（x，y，），∵動點P到直線l：x=-1的距離等于
它到圓C：x²+y²-4x+1=0的切線長（P到切點的距離），
∴|x+1|=$\sqrt{（x-2）^{2}+{y}^{2}-3}$，整理，得y²=6x，
∴曲線E的方程為y²=6x．
（Ⅱ）設直線AB的方程為my=x-2，
則直線CQ的方程為y=-m（x-2），
∴Q（-1，3m），
將my=x-2代入y²=6x，整理，得：y²-6my-12=0，
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則y₁+y₂=6m，y₁y₂=-12，
∴D（3m²+2，3m），|QD|=3m²+3，
|AB|=2$\sqrt{3}$•$\sqrt{（1+{m}^{2}）（3{m}^{2}+4）}$，
∴（$\frac{|QD|}{|AB|}$）²=$\frac{3{m}^{2}+3}{4（3{m}^{2}+4）}$=$\frac{1}{4}$（1-$\frac{1}{3{m}^{2}+4}$）∈[$\frac{3}{16}$，$\frac{1}{4}$），
∴$\frac{|QD|}{|AB|}$的取值范圍是[$\frac{\sqrt{3}}{4}，\frac{1}{2}$）．

點評 本題考查曲線方程的求法，考查兩線段比值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意韋達定理、兩點間距離公式的合理運用．