Question

15．已知動點P到直線l：x=-1的距離等于它到圓C：x²+y²-4x+1=0的切線長（P到切點的距離），記動點P的軌跡為曲線E．
（Ⅰ）求曲線E的方程；
（Ⅱ）點Q是直線l上的動點，過圓心C作QC的垂線交曲線E于A，B兩點，問是否存在常數(shù)λ使得|AC|•|BC|=λ|OC|²？若存在，求出λ的值，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設(shè)P（x，y），則|x+1|=$\sqrt{（x-2）^{2}+{y}^{2}-3}$，由此能求出曲線E的方程．
（Ⅱ）設(shè)直線AB的方程為my=x-2，則直線CQ的方程為y=-m（x-2），將my=x-2代入y²=6x，得：y²-6my-12=0，由此利用韋達(dá)定理能求出存在常數(shù)λ使得|AC|•|BC|=λ|OC|²，并能求出λ的值，

解答 解：（Ⅰ）由已知得圓心為C（2，0），半徑r=$\sqrt{3}$，
設(shè)P（x，y，），∵動點P到直線l：x=-1的距離等于
它到圓C：x²+y²-4x+1=0的切線長（P到切點的距離），
∴|x+1|=$\sqrt{（x-2）^{2}+{y}^{2}-3}$，整理，得y²=6x，
∴曲線E的方程為y²=6x．
（Ⅱ）設(shè)直線AB的方程為my=x-2，
則直線CQ的方程為y=-m（x-2），
解得Q（-1，3m），
∴|AC|•|BC|=（1+m²）|y₁y₂|=12（1+m²），|QC|²=9（1+m²），
∴|AC|•|BC|=$\frac{4}{3}$|QC|²．
∴λ=$\frac{4}{3}$．

點評 本題考查曲線方程的求法，考查滿足條件的實數(shù)值是否存在的判斷與求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意韋達(dá)定理、兩點間距離公式的合理運用．