Question

5．若數(shù)列{c_n}的前n項和為T_n，且滿足c_n+2T_nT_n-1=0（n≥2），c₁=$\frac{1}{2}$，求數(shù)列{c_n}的通項公式．

Answer 1

分析 把c_n=T_n-T_n-1（n≥2）代入c_n+2T_nT_n-1=0，變形可得$\frac{1}{{T}_{n}}-\frac{1}{{T}_{n-1}}=2$（n≥2）．由等差數(shù)列的通項公式求得T_n，代入原遞推式求得數(shù)列{c_n}的通項公式．

解答 解：由c_n+2T_nT_n-1=0（n≥2），得
T_n-T_n-1+2T_nT_n-1=0（n≥2），
∴T_n-1-T_n=2T_nT_n-1，
兩邊同時除以T_nT_n-1，得$\frac{1}{{T}_{n}}-\frac{1}{{T}_{n-1}}=2$（n≥2）．
又$\frac{1}{{T}_{1}}=\frac{1}{{c}_{1}}=2$．
∴數(shù)列{$\frac{1}{{T}_{n}}$}是以2為首項，以2為公差的等差數(shù)列，
則$\frac{1}{{T}_{n}}=2+2（n-1）=2n$，
則${T}_{n}=\frac{1}{2n}$．
∴c_n=-2T_nT_n-1=$-2×\frac{1}{4n（n-1）}=-\frac{1}{2n（n-1）}$（n≥2），
c₁=$\frac{1}{2}$不適合上式，
∴${c}_{n}=\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}，n=1}\\{-\frac{1}{2n（n-1）}，n≥2}\end{array}\right.$．

點評 本題考查數(shù)列遞推式，考查了等差關(guān)系的確定，考查等差數(shù)列通項公式的求法，是中檔題．