Question

14．已知F為橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的右焦點，A、B分別為橢圓C的左、上頂點，若BF的垂直平分線恰好過點A，則橢圓C的離心率為$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$．

Answer 1

分析 利用線段垂直平分線的性質(zhì)可得線段BF的垂直平分線的方程，進而得出．

解答 解：由已知可得：A（-a，0），B（0，b），F(xiàn)（c，0），
線段BF的中點M$（\frac{c}{2}，\frac{2}）$，k_BF=$-\frac{c}$，可得線段BF的垂直平分線的斜率為$\frac{c}$．
∴線段BF的垂直平分線的方程為：y-$\frac{2}$=$\frac{c}$$（x-\frac{c}{2}）$，
∵BF的垂直平分線恰好過點A，
∴0-$\frac{2}$=$\frac{c}$$（-a-\frac{c}{2}）$，
化為：2e²+2e-1=0，
解得e=$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$．
故答案為：$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$．

點評 本題考查了橢圓的標準方程及其性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．