Question

5．已知橢圓M的對稱軸為坐標軸，且拋物線y²=4x的焦點F是橢圓M的一個焦點，以F為圓心，以橢圓M的短半軸長為半徑的圓與直線$l：x-2\sqrt{2}y+2=0$相切．
（1）求橢圓M的方程；
（2）已知直線y=x+m與橢圓M交于A、B兩點，且橢圓M上存在點P滿足$\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}$，求m的值．

Answer 1

分析 （1）利用以F為圓心，以橢圓M的短半軸長為半徑的圓與直線$l：x-2\sqrt{2}y+2=0$相切，求出b，a，即可求橢圓M的方程；
（2）直線l：y=x+m與橢圓M聯(lián)立，利用$\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}$，求出P的坐標，代入橢圓方程，即可求m的值．

解答 解：（1）因為拋物線y²=4x的焦點F是橢圓M的一個焦點，即F（1，0），
又橢圓M的對稱軸為坐標軸，所以設橢圓方程為$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1，a＞b＞0$，且a²-b²=1，
又以F為圓心，以橢圓M的短半軸長為半徑的圓與直線$l：x-2\sqrt{2}y+2=0$相切，
即$b=\frac{{|{1-0+2}|}}{{\sqrt{1+{{（2\sqrt{2}）}^2}}}}=1$，所以橢圓M的方程是$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$；
（2）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）$\left\{\begin{array}{l}y=x+m\\{x^2}+2{y^2}=2\end{array}\right.⇒3{x^2}+4mx+2{m^2}-2=0$，
△=（4m）²-12（2m²-2）=-8m²+24＞0$⇒-\sqrt{3}＜m＜\sqrt{3}$，
∵$\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}$，∴P（x₁+x₂，y₁+y₂），
又${x_1}+{x_2}=-\frac{4}{3}m，{y_1}+{y_2}=\frac{2}{3}m$，即$P（-\frac{4}{3}m，\frac{2}{3}m）$在橢圓$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$上，
即${（-\frac{4}{3}m）^2}+2{（\frac{2}{3}m）^2}=2⇒m=±\frac{{\sqrt{3}}}{2}$．

點評 本題考查橢圓方程的求法，考查向量知識，考查直線與橢圓的位置關系，注意韋達定理的合理運用．