Question

15．某同學(xué)在畫函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）的圖象時(shí)，列表如下：

x		$\frac{2π}{3}$		$\frac{5π}{6}$
ωx+φ	0	$\frac{π}{2}$	π	$\frac{3π}{2}$	2π
Asin（ωx+φ）	0	2	0	-2

（1）請(qǐng)將上表數(shù)據(jù)補(bǔ)全，并直接寫出函數(shù)f（x）的解析式；
（2）將函數(shù)f（x）圖象上各點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的$\frac{1}{2}$，得到函數(shù)y=g（x）的圖象，求函數(shù)y=g（x）在[0，$\frac{π}{2}$]上的最大值M，最小值N，并求M-N的值．

Answer 1

分析 （1）由表知，$\frac{2π}{3}$ω+φ=$\frac{π}{2}$①，$\frac{5π}{6}$ω+φ=$\frac{3π}{2}$②，聯(lián)立可求ω，φ，令x-$\frac{π}{6}$=0，π，2π可求相應(yīng)的x；
（2）根據(jù)圖象變換易求g（x），利用正弦函數(shù)的單調(diào)性可求得g（x）在[0，$\frac{π}{2}$]上的最大值M，最小值N，即可解得M-N的值．

解答 （本題滿分為12分）
解：（1）將表中數(shù)據(jù)補(bǔ)全如下：

x	$\frac{π}{6}$	$\frac{2π}{3}$	$\frac{7π}{6}$	$\frac{5π}{6}$	$\frac{13π}{6}$
ωx+φ	0	$\frac{π}{2}$	π	$\frac{3π}{2}$	2π
Asin（ωx+φ）	0	2	0	-2	0

∵$\frac{T}{2}=\frac{5π}{3}-\frac{2π}{3}$=π，
∴T=2π，
∴ω=1，代入（$\frac{2π}{3}$，2）可得φ=-$\frac{π}{6}$，
∴函數(shù)的解析式為：y=2sin（x-$\frac{π}{6}$）…5分
（2）以題意可得g（x）=2sin（2x-$\frac{π}{6}$）…7分
∵0$≤x≤\frac{π}{2}$，∴-$\frac{π}{6}$≤2x-$\frac{π}{6}$≤$\frac{5π}{6}$，
∴$-\frac{1}{2}≤$sin（2x-$\frac{π}{6}$）≤1，
∴-1≤g（x）=2sin（2x-$\frac{π}{6}$）≤2，…10分
∴當(dāng)x=$\frac{π}{3}$時(shí)，g（x）取得最大值M=2；當(dāng)x=0時(shí)，g（x）取得最小值N=-1，
∴M-N=3．…12分

點(diǎn)評(píng) 本題考查“五點(diǎn)法”作y=Asin（ωx+φ）的圖象及其圖象變換、單調(diào)性，考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式，屬于中檔題．