Question

4．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{2x，（x≤\frac{1}{2}）}\\{2-2x，（x＞\frac{1}{2}）}\end{array}\right.$，則函數(shù)$\underset{\underbrace{f（f（…f（x）…））}}{2015}$在[0，1]上的圖象總長（　�。�

• A． 8060
• B． 4030
• C． 2015$\sqrt{5}$
• D． $\sqrt{{2^{4030}}+1}$

Answer 1

分析 由已知中函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{2x，（x≤\frac{1}{2}）}\\{2-2x，（x＞\frac{1}{2}）}\end{array}\right.$，分段討論，求出函數(shù)g（x）=f（f（x））在[0，1]上各段的解析式，畫出函數(shù)的圖象，進(jìn)而可得求出函數(shù)g（x）=f（f（x））在[0，1]上的圖象總長，同法，類比可得函數(shù)$\underset{\underbrace{f（f（…f（x）…））}}{2015}$在[0，1]上的圖象總長．

解答 解：先求出函數(shù)g（x）=f（f（x））在[0，1]上的圖象總長．
∵函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{2x，（x≤\frac{1}{2}）}\\{2-2x，（x＞\frac{1}{2}）}\end{array}\right.$，
當(dāng)x∈[0，$\frac{1}{4}$]時(shí)，f（x）∈[0，$\frac{1}{2}$]，g（x）=f（f（x））=2×2x=4x，
當(dāng)x∈（$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{2}$]時(shí)，f（x）∈（$\frac{1}{2}$，1]，g（x）=f（f（x））=2-2×2x=2-4x，
當(dāng)x∈（$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{4}$）時(shí)，f（x）∈（$\frac{1}{2}$，1），g（x）=f（f（x））=2-2×（2-2x）=4x-2，
當(dāng)x∈[$\frac{3}{4}$，1]時(shí)，f（x）∈[0，$\frac{1}{2}$]，g（x）=f（f（x））=2×（2-2x）=4-4x，
故函數(shù)g（x）=f（f（x））在[0，1]上的圖象如圖所示：

其長度為：4$\sqrt{{1}^{2}+（\frac{1}{4}）^{2}}$=$\sqrt{{2}^{4}+1}$，
同法，類比可得函數(shù)$\underset{\underbrace{f（f（…f（x）…））}}{2015}$在[0，1]上的圖象總長為$\sqrt{{2}^{4030}+1}$．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是分段函數(shù)的應(yīng)用，分段函數(shù)分段處理，是解答分段函數(shù)的基本思路，也是分類討論思想最好的印證．