Question

19．設(shè)函數(shù)f（x）=e^xlnx+$\frac{2{e}^{x-1}}{x}$，證明f（x）＞1．

Answer 1

分析 根據(jù)函數(shù)f（x0的定義域?yàn)椋?，+∞），得到函數(shù)在定義域內(nèi)的最小值為1，則答案得證．

解答 證明：∵f（x）=e^xln x+$\frac{2}{x}$e^x-1，
從而f（x）＞1等價(jià)于xln x＞xe^-x-$\frac{2}{e}$．
設(shè)函數(shù)g（x）=xln x，
則g′（x）=1+ln x，
所以當(dāng)x∈（0，$\frac{1}{e}$）時(shí)，g′（x）＜0；
當(dāng)x∈（$\frac{1}{e}$，+∞）時(shí)，g′（x）＞0．
故g（x）在（0，$\frac{1}{e}$）上單調(diào)遞減，在（$\frac{1}{e}$，+∞）上單調(diào)遞增，
從而g（x）在（0，+∞）上的最小值為g（$\frac{1}{e}$）=-$\frac{1}{e}$．
設(shè)函數(shù)h（x）=xe^-x-$\frac{2}{e}$，則h′（x）=e^-x（1-x）．
所以當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，h′（x）＞0；
當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，h′（x）＜0．
故h（x）在（0，1）上單調(diào)遞增，在（1，+∞）上單調(diào)遞減，
從而h（x）在（0，+∞）上的最大值為h（1）=-$\frac{1}{e}$；
因?yàn)間_min（x）=h（1）=h_max（x），
所以當(dāng)x＞0時(shí)，g（x）＞h（x），即f（x）＞1．

點(diǎn)評 本題考查了導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，考查函數(shù)的單調(diào)性問題，考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，是中高檔題．