Question

7．已知直線y=k（x-1）與拋物線C：y²=2px相交于P，Q兩點(diǎn)，設(shè)P，Q在該拋物線的準(zhǔn)線上的射影分別是P′，Q′，則無論k為何值，總有|PP′|+|QQ′|=|PQ|．
（Ⅰ）求拋物線C的方程；
（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)A為y軸上異于原點(diǎn)的任意一點(diǎn)，過點(diǎn)A作拋物線C的切線l，直線x=3分別與直線l及x軸交于點(diǎn)M，N，以MN為直徑作圓E，過點(diǎn)A作圓E的切線，切點(diǎn)為B，試探究：當(dāng)點(diǎn)A在y軸上運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)A與原點(diǎn)不重合）時(shí)，線段AB的長(zhǎng)度是否發(fā)生變化？請(qǐng)證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析 （I）設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為F，可得|PP′|+|QQ′|=|PF|+|QF|，根據(jù)|PP′|+|QQ′|=|PQ|，即可得出直線y=k（x-1）過拋物線的焦點(diǎn)．
（II）設(shè)A（0，b），切線l的方程為y=kx+b，與拋物線方程聯(lián)立可得k²x²+（2kb-4）x+b²=0，由直線l與拋物線C相切，可得△=0，即kb=1．可得M（3，b+$\frac{3}$），N（3，0）．根據(jù)AB是圓E的切線，可得AB²=AE²-BE²，即可得出結(jié)論．

解答 解：（I）設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為F，則|PP′|+|QQ′|=|PF|+|QF|，
∵|PP′|+|QQ′|=|PQ|，
∴直線y=k（x-1）過拋物線的焦點(diǎn)，
從而拋物線的焦點(diǎn)為（1，0），拋物線方程為：y²=4x．
（II）設(shè)A（0，b），切線l的方程為y=kx+b，
聯(lián)立方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+b}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$，消元得k²x²+（2kb-4）x+b²=0，
∵直線l與拋物線C相切，
∴△=（2kb-4）²-4k²b²=0，即kb=1．∴k=$\frac{1}$．
∴直線l的方程為y=$\frac{1}$x+b．
令x=3得y=b+$\frac{3}$．
∴M（3，b+$\frac{3}$），N（3，0）．
∴圓E的圓心為E（3，$\frac{2}+\frac{3}{2b}$），半徑r=$|{\frac{2}+\frac{3}{2b}}|$．
∴AE²=9+（$\frac{2}$-$\frac{3}{2b}$）²．
∵AB是圓E的切線，∴AB²=AE²-BE²=AE²-r²=6．
∴AB=$\sqrt{6}$．
即點(diǎn)A在y軸上運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)A與原點(diǎn)不重合）時(shí)，線段AB的長(zhǎng)度不發(fā)生變化．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了拋物線的定義標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、直線與拋物線相交問題、直線與圓相切及其性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．