Question

2．設(shè)無窮數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且S_n=$\frac{1}{2}$n²+n（n∈N^*）
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）求滿足S${\;}_{{k}^{2}}$=（S_k）²的正整數(shù)k；
（3）求出所有的無窮數(shù)列{a_n}，使得對于一切正整數(shù)k都有S${\;}_{{k}^{2}}$=（S_k）²成立．

Answer 1

分析 （1）由數(shù)列的前n項和求出首項，并求出n≥2時的通項，驗證首項后得答案；
（2）由${S}_{{k}^{2}}=（{S}_{k}）^{2}$，得$\frac{1}{2}{k}^{4}+{k}^{2}=（\frac{1}{2}{k}^{2}+k）^{2}$，解方程即可求得k值；
（3）設(shè)數(shù)列{a_n}的公差為d，則在${S_{n^2}}={（{S_n}）^2}$中分別取k=1，2，求得首項和公差，驗證是否滿足${S}_{{n}^{2}}=（{S}_{n}）^{2}$成立得答案．

解答 解：（1）當(dāng)n=1時，a₁=S₁=$\frac{3}{2}$；
當(dāng)n≥2時a_n=S_n-S_n-1 =$\frac{1}{2}$n²+n-[$\frac{1}{2}（n-1）^{2}+（n-1）$]=n+$\frac{1}{2}$．
n=1時，${a_1}=\frac{3}{2}$，滿足上式．
∴${a_n}=n+\frac{1}{2}$；
（2）∵S_n=$\frac{1}{2}$n²+n，
∴由${S}_{{k}^{2}}=（{S}_{k}）^{2}$，得$\frac{1}{2}{k}^{4}+{k}^{2}=（\frac{1}{2}{k}^{2}+k）^{2}$，
即$\frac{1}{4}{k}^{4}={k}^{3}$，又k≠0，∴k=4；
（3）設(shè)數(shù)列{a_n}的公差為d，則在${S_{n^2}}={（{S_n}）^2}$中分別取k=1，2，得
$\left\{\begin{array}{l}{{S}_{1}=（{S}_{1}）^{2}}\\{{S}_{4}=（{S}_{2}）^{2}}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}={{a}_{1}}^{2}①}\\{4{a}_{1}+\frac{4×3}{2}d=（2{a}_{1}+\frac{2×1}{2}d）^{2}②}\end{array}\right.$
由①得：a₁=0或a₁=1．
當(dāng)a₁=0時，代入②得：d=0或d=6，
若a₁=d=0，則a_n=S_n=0，從而${S}_{{k}^{2}}=（{S}_{k}）^{2}$成立；
若a₁=0，d=6，則a_n=6（n-1），由${S}_{3}=18，（{S}_{3}）^{2}=324$，S₉=216，知${S}_{9}≠（{S}_{3}）^{2}$，
故所得數(shù)列不符合題意；
當(dāng)a₁=1時，代入②得：4+6d=（2+d）²，解得d=0或d=2．
若a₁=1，d=0，則a_n=1，S_n=n，從而${S}_{{k}^{2}}=（{S}_{k}）^{2}$成立；
若a₁=1，d=2，則${a}_{n}=2n-1，{S}_{n}=1+3+…+（2n-1）={n}^{2}$，
從而${S}_{{n}^{2}}=（{S}_{n}）^{2}$成立．
綜上，共有3個滿足條件的無窮等差數(shù)列：
①{a_n}：a_n=0，即0，0，0，…；
②{a_n}：a_n=1，即1，1，1，…；
③{a_n}：a_n=2n-1，即1，3，5，…．

點評 本題考查數(shù)列的和，考查了等差關(guān)系的確定，考查學(xué)生的邏輯思維能力和推理論證能力，是中檔題．