Question

1．已知直線l經(jīng)過拋物線y²=4x的焦點(diǎn)F，且與拋物線相交于M，N兩點(diǎn)．
（Ⅰ）當(dāng)直線l的斜率為1，求線段MN的長；
（Ⅱ）記t=$\frac{1}{|FM|}+\frac{1}{|FN|}$，試求t的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）當(dāng)直線l的斜率為1，解方程組$\left\{{\begin{array}{l}{y=x-1}\\{{y^2}=4x}\end{array}}\right.$，消去y得x²-6x+1=0，由韋達(dá)定理得x₁+x₂=6，即可求線段MN的長；
（Ⅱ）記t=$\frac{1}{|FM|}+\frac{1}{|FN|}$，分類討論，利用韋達(dá)定理求t的值．

解答 解：（Ⅰ）由題意知，拋物線的焦點(diǎn)F（1，0），準(zhǔn)線方程為：x=-1．…（1分）
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），由拋物線的定義知|MF|=x₁+1，|NF|=x₂+1，
于是|MN|=|MF|+|NF|=x₁+x₂+2．…（3分）
由F（1，0），所以直線l的方程為y=x-1，
解方程組$\left\{{\begin{array}{l}{y=x-1}\\{{y^2}=4x}\end{array}}\right.$，消去y得x²-6x+1=0．…（4分）
由韋達(dá)定理得x₁+x₂=6，
于是|MN|=x₁+x₂+2=8
所以，線段MN的長是8．…（6分）
（Ⅱ）設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
當(dāng)直線l的斜率不存在時，M（1，2），N（1，-2），$t=\frac{1}{|FM|}+\frac{1}{|FN|}=1$；…（7分）
當(dāng)直線l的斜率不存在時，設(shè)直線l方程為y=k（x-1）
聯(lián)立$\left\{{\begin{array}{l}{y=k（x-1）}\\{{y^2}=4x}\end{array}}\right.$消去x得k²x²-（2k²+4）x+k²=0，△=16k²+16＞0，
${x_1}+{x_2}=\frac{{2{k^2}+4}}{k^2}=2+\frac{4}{k^2}$，x₁x₂=1…（9分）
$t=\frac{1}{|FM|}+\frac{1}{|FN|}=\frac{1}{{{x_1}+1}}+\frac{1}{{{x_2}+1}}=\frac{{{x_1}+{x_2}+2}}{{{x_1}{x_2}+{x_1}+{x_2}+1}}$=$\frac{{\frac{4}{k^2}+4}}{{1+\frac{4}{k^2}+2+1}}=1$…（11分）
所以，所求t的值為1． …（12分）

點(diǎn)評 本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理的運(yùn)用，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．