Question

10．在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，點M、N分別在邊AB、BC上，沿直線MD、DN、NM，分別將△AMD、△CDN、△BNM折起，點A，B，C重合于一點P．
（1）證明：平面PMD⊥平面PND；
（2）若cos∠DNP=$\frac{3}{5}$，PD=5，求直線PD與平面DMN所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）推導(dǎo)出翻折后MP⊥NP，MP⊥PD，由此能證明平面PMD⊥平面PND．
（2）由題意得AM=BM=PM，BN=CN=PN，AD=CD=PN，設(shè)AM=a，BN=b，作DH⊥BC，由此入手能求出直線PD與平面DMN所成角的正弦值．

解答 證明：（1）∵翻折前MB⊥NB，MA⊥DA，∴翻折后MP⊥NP，MP⊥PD，
∵NP∩PD=P，∴MP⊥平面PND，
∵MP?平面PMD，∴平面PMD⊥平面PND．
解：（2）由題意得AM=BM=PM，BN=CN=PN，AD=CD=PN，
設(shè)AM=a，BN=b，作DH⊥BC，NH=$\frac{DH}{tan∠DNP}=2a×\frac{3}{4}=\frac{3a}{2}$，
∴AD=BN+NH=b+$\frac{3}{2}a$，
∴${S}_{梯形ABCD}=\frac{1}{2}AB（AD+BC）=a（3b+\frac{3}{2}a）$=3ab+$\frac{3}{2}{a}^{2}$，
S_△MND=S_梯形ABCD-S_△AMD-S_△MBN-S_△DNC
=3ab+$\frac{3}{2}{a}^{2}$-$\frac{1}{2}ab-\frac{3}{4}{a}^{2}-\frac{1}{2}ab-ab$
=ab+$\frac{3}{4}{a}^{2}$，
${V}_{P-MDN}=\frac{1}{3}MP•{S}_{△PND}$=$\frac{1}{3}CD×{S}_{△CND}$=$\frac{a}{3}×ab$=$\frac{{a}^{2}b}{3}$．
PO⊥平面MPN，
PO=$\frac{3{V}_{P-MPN}}{{S}_{△MDP}}$=$\frac{{a}^{2}b}{ab+\frac{3}{4}{a}^{2}}$=$\frac{ab}{b+\frac{3}{4}a}$，
sin$∠PDO=\frac{PO}{PD}=\frac{1}{5}×\frac{ab}{b+\frac{3}{4}a}$，
如圖，$\left\{\begin{array}{l}{b+\frac{3}{2}a=PD=5}\\{（b-\frac{3}{2}a）^{2}+4{a}^{2}=P{O}^{2}=25}\end{array}\right.$，
解得a=$\frac{30}{13}$，b=$\frac{20}{13}$，代入上式得sin∠PDO=$\frac{48}{121}$．
∴直線PD與平面DMN所成角的正弦值為$\frac{48}{121}$．

點評 本題考查線面垂直的證明，考查線面角的正弦值的求法，是難題，解題時要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．