Question

11．已知數(shù)列{a_n}的各項(xiàng)均為整數(shù)，其前n項(xiàng)和為S_n．規(guī)定：若數(shù)列{a_n}滿足前r項(xiàng)依次成公差為1的等差數(shù)列，從第r-1項(xiàng)起往后依次成公比為2的等比數(shù)列，則稱數(shù)列{a_n}為“r關(guān)聯(lián)數(shù)列”．
（1）若數(shù)列{a_n}為“6關(guān)聯(lián)數(shù)列”，求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）在（1）的條件下，求出S_n，并證明：對(duì)任意n∈N^*，a_nS_n≥a₆S₆；
（3）已知數(shù)列{a_n}為“r關(guān)聯(lián)數(shù)列”，且a₁=-10，是否存在正整數(shù)k，m（m＞k），使得a₁+a₂+…+a_k-1+a_k=a₁+a₂+…+a_m-1+a_m？若存在，求出所有的k，m值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）若數(shù)列{a_n}為“6關(guān)聯(lián)數(shù)列”，{a_n}前6項(xiàng)為等差數(shù)列，從第5項(xiàng)起為等比數(shù)列，可得a₆=a₁+5，a₅=a₁+4，且$\frac{a_6}{a_5}=2$，即$\frac{{{a_1}+5}}{{{a_1}+4}}=2$，解得a₁，即可求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）由（1）得${S_n}=\left\{{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}{n^2}-\frac{7}{2}n，n≤4}\\{{2^{n-4}}-7，n≥5}\end{array}}\right.$（或${S_n}=\left\{{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}{n^2}-\frac{7}{2}n，n≤5}\\{{2^{n-4}}-7，n≥6}\end{array}=\left\{{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}{n^2}-\frac{7}{2}n，n≤6}\\{{2^{n-4}}-7，n≥7}\end{array}}\right.}\right.$，可見數(shù)列{a_nS_n}的最小項(xiàng)為a₆S₆=-6，即可證明：對(duì)任意n∈N^*，a_nS_n≥a₆S₆；
（3）${a_n}=\left\{{\begin{array}{l}{n-11，n≤12}\\{{2^{n-12}}，n≥13}\end{array}，{S_n}=\left\{{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}{n^2}-\frac{21}{2}n，n≤12}\\{{2^{n-11}}-56，n≥13}\end{array}}\right.}\right.$，分類討論，求出所有的k，m值．

解答 解：（1）∵數(shù)列{a_n}為“6關(guān)聯(lián)數(shù)列”，
∴{a_n}前6項(xiàng)為等差數(shù)列，從第5項(xiàng)起為等比數(shù)列，
∴a₆=a₁+5，a₅=a₁+4，且$\frac{a_6}{a_5}=2$，即$\frac{{{a_1}+5}}{{{a_1}+4}}=2$，解得a₁=-3…（2分）
∴${a_n}=\left\{{\begin{array}{l}{n-4，n≤4}\\{{2^{n-5}}，n≥5}\end{array}}\right.$（或${a_n}=\left\{{\begin{array}{l}{n-4，n≤5}\\{{2^{n-5}}，n≥6}\end{array}=\left\{{\begin{array}{l}{n-4，n≤6}\\{{2^{n-5}}，n≥7}\end{array}}\right.}\right.$）．  …（4分）
（2）由（1）得${S_n}=\left\{{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}{n^2}-\frac{7}{2}n，n≤4}\\{{2^{n-4}}-7，n≥5}\end{array}}\right.$（或${S_n}=\left\{{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}{n^2}-\frac{7}{2}n，n≤5}\\{{2^{n-4}}-7，n≥6}\end{array}=\left\{{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}{n^2}-\frac{7}{2}n，n≤6}\\{{2^{n-4}}-7，n≥7}\end{array}}\right.}\right.$）…（6分）
$\left\{{a_n}\right\}：-3，-2，-1，0，1，2，{2^2}，{2^3}，{2^4}，{2^5}，…$，
{S_n}：-3，-5，-6，-6，-5，-3，1，9，25，…{a_nS_n}：9，10，6，0，-5，-6，4，72，400，…，
可見數(shù)列{a_nS_n}的最小項(xiàng)為a₆S₆=-6，
證明：${a_n}{S_n}=\left\{{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}n（n-4）（n-7），n≤5}\\{{2^{n-5}}（{2^{n-4}}-7），n≥6}\end{array}}\right.$，
列舉法知當(dāng)n≤5時(shí)，（a_nS_n）_min=a₅S₅=-5；  …（8分）
當(dāng)n≥6時(shí)，${a_n}{S_n}=2•{（{2^{n-5}}）^2}-7•{2^{n-5}}（n≥6）$，設(shè)t=2^n-5，則${a_n}{S_n}=2{t^2}-7t=2{（t-\frac{7}{4}）^2}-\frac{49}{8}≥2•{2^2}-7•2=-6$．       …（10分）
（3）數(shù)列{a_n}為“r關(guān)聯(lián)數(shù)列”，且a₁=-10，∵$\frac{a_r}{{{a_{r-1}}}}=2∴r=13$
∴${a_n}=\left\{{\begin{array}{l}{n-11，n≤12}\\{{2^{n-12}}，n≥13}\end{array}，{S_n}=\left\{{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}{n^2}-\frac{21}{2}n，n≤12}\\{{2^{n-11}}-56，n≥13}\end{array}}\right.}\right.$…（12分）
①當(dāng)k＜m≤12時(shí)，由$\frac{1}{2}{k^2}-\frac{21}{2}k=\frac{1}{2}{m^2}-\frac{21}{2}m$得（k+m）（k-m）=21（k-m）k+m=21，k，m≤12，m＞k，∴$\left\{{\begin{array}{l}{m=12}\\{k=9}\end{array}}\right.$或$\left\{{\begin{array}{l}{m=11}\\{k=10}\end{array}}\right.$．
②當(dāng)m＞k＞12時(shí)，由2^k-11-56=2^m-11-56得m=k，不存在  …（14分）
③當(dāng)k≤12，m＞12時(shí)，由$\frac{1}{2}{k^2}-\frac{21}{2}k={2^{m-11}}-56$，2^m-10=k²-21k+112
當(dāng)k=1時(shí)，2^m-10=92，m∉N^*；當(dāng)k=2時(shí)，2^m-10=74，m∉N^*；
當(dāng)k=3時(shí)，2^m-10=58，m∉N^*；當(dāng)k=4時(shí)，2^m-10=44，m∉N^*；
當(dāng)k=5時(shí)，2^m-10=2⁵，m=15∈N^*；當(dāng)k=6時(shí)，2^m-10=22，m∉N^*；
當(dāng)k=7時(shí)，2^m-10=14，m∉N^*；當(dāng)k=8時(shí)，2^m-10=2³，m=13∈N^*；
當(dāng)k=9時(shí)，2^m-10=2²，m=12舍去；當(dāng)k=10時(shí)，2^m-10=2，m=11舍去
當(dāng)k=11時(shí)，2^m-10=2，m=11舍去；當(dāng)k=12時(shí)，2^m-10=2²，m=12舍去…（16分）
綜上所述，∴存在$\left\{{\begin{array}{l}{m=15}\\{k=5}\end{array}}\right.$或$\left\{{\begin{array}{l}{m=13}\\{k=8}\end{array}}\right.$或$\left\{{\begin{array}{l}{m=12}\\{k=9}\end{array}}\right.$或$\left\{{\begin{array}{l}{m=11}\\{k=10}\end{array}}\right.$．  …（18分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的應(yīng)用，考查新定義，考查數(shù)列的通項(xiàng)，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，難度大．