Question

4．已知函數(shù)f（x）=x+sin2x，給出以下四個命題：
①函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點對稱；
②?x＞0，不等式f（x）＜3x恒成立；
③?k∈R，使方程f（x）=k沒有實數(shù)根；
④若數(shù)列{a_n}是公差為$\frac{π}{3}$的等差數(shù)列，且f（a₁）+f（a₂）+f（a₃）=3π，則a₂=π，
其中的正確命題有①②④．（將正確的序號都寫上）

Answer 1

分析 判斷f（x）的奇偶性，單調(diào)性，值域，逐項判斷．

解答 解：①∵f（-x）=-x-sin2x=-f（x），∴f（x）是奇函數(shù)，
∴f（x）的圖象關(guān)于原點對稱．故①正確；
②令g（x）=f（x）-3x=sin2x-2x，則g′（x）=2cos2x-2≤0，
∴g（x）是減函數(shù)，∵g（0）=0，
∴當(dāng)x＞0時，g（x）＜0，即f（x）＜3x．故②正確；
③當(dāng)x→+∞時，f（x）→+∞，當(dāng)x→-∞時，f（x）→-∞，
∴f（x）的值域為R，
∴不存在k∈R，使方程f（x）=k沒有實數(shù)根，故③錯誤；
④∵數(shù)列{a_n}是公差為$\frac{π}{3}$的等差數(shù)列，
設(shè)a₁=a₂-$\frac{π}{3}$，a₃=a₂+$\frac{π}{3}$．
∴f（a₁）+f（a₂）+f（a₃）=a₂-$\frac{π}{3}$+sin（2a₂-$\frac{2π}{3}$）+a₂+sin2a₂+a₂+$\frac{π}{3}$+sin（2a₂+$\frac{2π}{3}$）
=3a₂-$\frac{1}{2}$sin2a₂-$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos2a₂+sin2a₂-$\frac{1}{2}$sin2a₂+$\frac{\sqrt{3}}{2}cos$2a₂
=3a₂．
∵f（a₁）+f（a₂）+f（a₃）=3π，∴3a₂+2sina₂=3π，∴a₂=π．故④正確．
故答案為：①②④．

點評 本題考查了函數(shù)的性質(zhì)判斷，屬于中檔題．