Question

10．已知數(shù)列{a_n}滿足：a₁+2a₂+…+na_n=2-$\frac{n+2}{2^n}$
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）若b_n=log₂$\frac{1}{2a_n^2}，且{c_n}=\frac{b_n}{a_n}$，求數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （I）利用遞推關(guān)系即可得出；
（II）b_n=log₂$\frac{1}{2{a}_{n}^{2}}$=2n-1，${c}_{n}=\frac{_{n}}{{a}_{n}}$=（2n-1）•2ⁿ，利用“錯(cuò)位相減法”與等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可得出．

解答 解：（I）∵a₁+2a₂+…+na_n=2-$\frac{n+2}{2^n}$，
∴當(dāng)n=1時(shí)，a₁=$\frac{1}{2}$．
當(dāng)n≥2時(shí)，a₁+2a₂+…+（n-1）a_n-1=2-$\frac{n+1}{{2}^{n-1}}$，可得na_n=$\frac{n}{{2}^{n}}$，即a_n=$\frac{1}{{2}^{n}}$．
當(dāng)n=1時(shí)也滿足上式，
∴a_n=$\frac{1}{{2}^{n}}$．
（II）b_n=log₂$\frac{1}{2{a}_{n}^{2}}$=2n-1，${c}_{n}=\frac{_{n}}{{a}_{n}}$=（2n-1）•2ⁿ．
∴數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和T_n=2+3×2²+5×2³+…+（2n-1）•2ⁿ．
∴$2{T}_{n}={2}^{2}+3×{2}^{3}$+…+（2n-3）•2ⁿ+（2n-1）•2ⁿ⁺¹．
∴-T_n=2+2×2²+…+2×2ⁿ-（2n-1）•2ⁿ⁺¹=$\frac{4（{2}^{n}-1）}{2-1}$-2-（2n-1）•2ⁿ⁺¹=（3-2n）•2ⁿ⁺¹-6．
∴T_n=（2n-3）•2ⁿ⁺¹+6．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了“錯(cuò)位相減法”與等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式、遞推關(guān)系的應(yīng)用，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．