Question

5．某學(xué)生對函數(shù)f（ x ）=x•cosx的性質(zhì)進(jìn)行研究，得出如下的結(jié)論：
①函數(shù)y=f（x）在[-π，0]上單調(diào)遞增，在[0，π]上單調(diào)遞減；
②點(diǎn)（$\frac{π}{2}$，0）是函數(shù)y=f（x）圖象的一個(gè)對稱中心；
③函數(shù)y=f（x）圖象關(guān)于直線x=π對稱；
④存在常數(shù)M＞0，使|f（x）|≤M|x|對一切實(shí)數(shù)x 均成立．其中正確命題的個(gè)數(shù)是（　�。�

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 利用特值法判斷前3個(gè)結(jié)論，再判斷第4個(gè)結(jié)論即可．

解答 解：①特值法．f（-π）=π，f（0）=0，故函數(shù)y=f（x）在[-π，0]上單調(diào)遞增錯(cuò)，
②若關(guān)于（$\frac{π}{2}$，0）中心對稱，則f（x）=-f（π-x），而f（π）=-π，f（0）=0，故②錯(cuò)．
③若函數(shù)y=f（x）圖象關(guān)于直線x=π對稱，則f（x）=f（2π-x），
而f（2π）=2π，f（0）=0，故③錯(cuò)．
④當(dāng)x=0時(shí)，|f（0）|≤M•0，
當(dāng)x≠0時(shí)，M≥|$\frac{f（x）}{x}$|=|cosx|恒成立，
故M≥1即可，所以④正確．
故選：A．

點(diǎn)評 本題考查了函數(shù)的性質(zhì)的判斷與應(yīng)用．