Question

2．已知f（x）=m^x（m為常數(shù)，m＞0且m≠1）．設(shè)$f（{a_1}），f（{a_2}），…，f（{a_n}）（n∈{N^*}）$是首項(xiàng)為4，公比為2的等比數(shù)列．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）若b_n=a_n•f（a_n），且數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n，當(dāng)$m=\sqrt{2}$時，求S_n；
（3）若c_n=a_n•f（n），問是否存在實(shí)數(shù)m，使得數(shù)列{c_n}中每一項(xiàng)恒小于它后面的項(xiàng)？若存在，求出實(shí)數(shù)m的取值范圍；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）通過求出f（a_n）的通項(xiàng)公式可知${m^{a_n}}={2^{n+1}}$，并對其兩邊同時取對數(shù)即得結(jié)論；
（2）通過（1）可知數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式，進(jìn)而當(dāng)$m=\sqrt{2}$時利用錯位相減法計算即得結(jié)論；
（3）通過（1）可知數(shù)列{c_n}的通項(xiàng)公式，進(jìn)而只需證明$（{n+1}）{m^n}{log_m}2＜（{n+2}）{m^{n+1}}{log_m}2$對一切n≥1成立，分m＞1、0＜m＜1兩種情況討論即可．

解答 解：（1）由題意$f（{a_n}）=4×{2^{n-1}}={2^{n+1}}$，即${m^{a_n}}={2^{n+1}}$，
∴${a_n}={log_m}{2^{n+1}}$…（3分）
（2）由題意${b_n}={a_n}f（{a_n}）=（{{{log}_m}{2^{n+1}}}）×{2^{n+1}}=（{n+1}）{2^{n+1}}{log_m}2$，
當(dāng)$m=\sqrt{2}$時，${b_n}=（{n+1}）{2^{n+1}}{log_m}2=（{n+1}）{2^{n+1}}{log_{\sqrt{2}}}2=（{n+1}）{2^{n+2}}$．
∴${S_n}=2•{2^3}+3•{2^4}+4•{2^5}+…+（n+1）•{2^{n+2}}$①…（5分）
①式兩端同乘以2，得：
$2{S_n}=2•{2^4}+3•{2^5}+4•{2^6}+…+n•{2^{n+2}}+（n+1）•{2^{n+3}}$②
②-①并整理，得：
${S_n}=-2•{2^3}-{2^4}-{2^5}-{2^6}-…-{2^{n+2}}+（n+1）•{2^{n+3}}$
=-2³-[2³+2⁴+2⁵+…+2ⁿ⁺²]+（n+1）•2ⁿ⁺³
=$-{2^3}-\frac{{{2^3}[1-{2^n}]}}{1-2}+（n+1）•{2^{n+3}}$
=-2³+2³（1-2ⁿ）+（n+1）•2ⁿ⁺³
=n•2ⁿ⁺³…（9分）
（3）結(jié)論：當(dāng)$0＜m＜\frac{2}{3}$或m＞1時，使得數(shù)列{c_n}中每一項(xiàng)恒小于它后面的項(xiàng)．
理由如下：
由題意${c_n}={a_n}f（n）=（{{{log}_m}{2^{n+1}}}）×{m^n}=（{n+1}）{m^n}{log_m}2$，
要使c_n＜c_n+1對一切n≥1成立，
即$（{n+1}）{m^n}{log_m}2＜（{n+2}）{m^{n+1}}{log_m}2$對一切n≥1成立，
①當(dāng)m＞1時，（n+1）＜（n+2）m對一切n≥1成立；              …（12分）
②當(dāng)0＜m＜1時，（n+1）＞（n+2）m，
∴$m＜\frac{n+1}{n+2}$一切n≥1成立，
即$m＜\frac{2}{3}$，考慮到0＜m＜1，
∴$0＜m＜\frac{2}{3}$．                       …（15分）
綜上，當(dāng)$0＜m＜\frac{2}{3}$或m＞1時，數(shù)列{c_n}中每一項(xiàng)恒小于它后面的項(xiàng)． …（16分）

點(diǎn)評 本題是一道關(guān)于數(shù)列的綜合題，涉及對數(shù)的運(yùn)算、數(shù)列的單調(diào)性、數(shù)列的通項(xiàng)及前n項(xiàng)和等基礎(chǔ)知識，考查錯位相減法，注意解題方法的積累，屬于中檔題．