Question

14．若雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）上存在一點P滿足|OP|為邊長的正方形的面積等于2ab（其中O為坐標原點），則雙曲線的離心率的取值范圍是（　�。�

• A． （1，$\frac{\sqrt{5}}{2}$]
• B． （1，$\frac{\sqrt{7}}{2}$]
• C． [$\frac{\sqrt{5}}{2}$，+∞）
• D． [$\frac{\sqrt{7}}{2}$，+∞）

Answer 1

分析 設(shè)P（x，y），由以|OP|為邊長的正方形面積等于2ab，可得x²+y²=2ab，從而可得x²=$\frac{（2ab+^{2}）{a}^{2}}{{c}^{2}}$≥a²，即可求出雙曲線離心率的取值范圍．

解答 解：由題意，設(shè)P（x，y），則
∵以|OP|為邊長的正方形面積等于2ab，
∴x²+y²=2ab，
∴x²+b²（$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-1）=2ab，
∴x²=$\frac{（2ab+^{2}）{a}^{2}}{{c}^{2}}$≥a²，
∴2ab+b²≥c²，
∴2b≥a，
∴4（c²-a²）≥a²，
∴e≥$\frac{\sqrt{5}}{2}$．
故選：C．

點評 本題考查雙曲線的簡單性質(zhì)，考查學生的計算能力，確定x²=$\frac{（2ab+^{2}）{a}^{2}}{{c}^{2}}$≥a²是關(guān)鍵．