Question

12．已知函數(shù)f（x）=lg（a^x-b^x）（a＞1＞b＞0）．
（1）求y=f（x）的定義域；
（2）若f（2x²-mx）＞f（x-1）在（1，3）恒成立，求m的取值范圍；
（3）當(dāng)a=4b時(shí)，g（x）=f（x）-lg（a^x+b^x）-n在（1，2）上有零點(diǎn)，求n的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用對(duì)數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的定義域及單調(diào)性即可得出；
（2）先判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性得到2x²-mx＞x-1在（1，3）恒成立，分離參數(shù)，構(gòu)造函數(shù)，求出函數(shù)的最值，問(wèn)題得以解決，
（3）化簡(jiǎn)g（x），根據(jù)零點(diǎn)存在定理即可求出n的取值范圍．

解答 解：（1）要使函數(shù)有意義，必有a^x-b^x＞0，a＞1＞b＞0
可得（$\frac{a}$）^x＞1，解得x＞0，
函數(shù)的定義域?yàn)椋海?，+∞）；
（2）設(shè)φ（x）=a^x-b^x，再設(shè)x₁，x₂∈（0，+∞）上的任意兩個(gè)數(shù)，且x₁＜x₂，
則φ（x₁）-φ（x₂）=${a}^{{x}_{1}}-^{{x}_{1}}-{a}^{{x}_{2}}+^{{x}_{2}}$=（${a}^{{x}_{1}}-{a}^{{x}_{2}}$）+（$^{{x}_{2}}-^{{x}_{1}}$），
對(duì)于函數(shù)y=a^x為增函數(shù)，y=b^x為減函數(shù)，
∴${a}^{{x}_{1}}-{a}^{{x}_{2}}$＜0，$^{{x}_{2}}-^{{x}_{1}}$＜0，
∴φ（x₁）-φ（x₂）＜0，
∴φ（x）在（0，+∞）為增函數(shù)，
∵y=lgx在（0，+∞）為增函數(shù)，
∴f（x）在（0，+∞）為增函數(shù)；
∵f（2x²-mx）＞f（x-1）在（1，3）恒成立
∴2x²-mx＞x-1在（1，3）恒成立，
∴m＜2x+$\frac{1}{x}$-1，
設(shè)h（x）=2x+$\frac{1}{x}$-1，
則h′（x）=2-$\frac{1}{{x}^{2}}$＞0，
∴h（x）=2x+$\frac{1}{x}$-1在（1，3）上單調(diào)遞增，
∴h（x）＞h（1）=2+1-1=2，
∴m≤2，
∴m的取值范圍為（-∞，2]；
（3）當(dāng)a=4b時(shí)，g（x）=f（x）-lg（a^x+b^x）-n=lg（a^x-b^x）-lg（a^x+b^x）-n=lg（$\frac{{4}^{x}-1}{{4}^{x}+1}$）-n，
∵g（x）在（1，2）上有零點(diǎn)，
∴g（1）g（2）＜0，
∴（lg$\frac{3}{5}$-n）（lg$\frac{15}{17}$-n）＜0，
即（n-lg$\frac{3}{5}$）（n-lg$\frac{15}{17}$-n）＜0，
解得lg$\frac{3}{5}$＜n＜lg$\frac{15}{17}$，
∴n的取值范圍（lg$\frac{3}{5}$，lg$\frac{15}{17}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域，以及函數(shù)的單調(diào)性的判定和應(yīng)用，以及函數(shù)恒成立問(wèn)題和函數(shù)的零點(diǎn)存在定理，同時(shí)考查了計(jì)算能力，屬于中檔題．