Question

4．直線y=x是曲線y=x³+3x²+ax的切線，則a的值1或$\frac{13}{4}$．

Answer 1

分析 設(shè)出切點坐標，求出函數(shù)在切點處的導(dǎo)數(shù)，寫出切線方程，結(jié)合切點既在曲線上又在切線上聯(lián)立方程組求解．

解答 解：設(shè)切點P（x₀，x₀），
∵直線y=x是曲線y=x³-3x²+ax的切線，
∴切線的斜率為1．
∵y=x³-3x²+ax，
∴y′${|}_{x={x}_{0}}$=3x₀²-6x₀+a=1  ①，
∵點P在曲線上，
∴x₀³-3x₀²+ax₀=x₀ ②，
由①，②聯(lián)立得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{0}=0}\\{3{{x}_{0}}^{2}-6{x}_{0}+a-1=0}\end{array}\right.$  ③
或$\left\{\begin{array}{l}{{{x}_{0}}^{2}-3{x}_{0}+a-1=0}\\{3{{x}_{0}}^{2}-6{x}_{0}+a-1=0}\end{array}\right.$  ④．
由③得，a=1；
由④得x₀²-3x₀=3x₀²-6x₀，解得x₀=0或$\frac{3}{2}$，把x₀的值代入④中，得到a=1或$\frac{13}{4}$．
綜上所述，a的值為1或$\frac{13}{4}$．
故答案為：1或$\frac{13}{4}$．

點評 本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究過曲線上某點處的切線方程，解答此題的關(guān)鍵在于設(shè)出切點，考查運算能力，是中檔題．