Question

20．已知等差數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)為a，公差為b，等比數(shù)列{b_n}的首項(xiàng)為b，公比為a（其中a，b均為正整數(shù)）．
（1）若a₁=b₁，a₂=b₂，求數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）對(duì)于（1）中的數(shù)列{a_n}和{b_n}，對(duì)任意k∈N^*在b_k和b_k+1之間插入a_k個(gè)2，例如：b₁，2，2，b₂，2，2，2，2，b₃，2，2，2，2，2，2，b₄，…，如此這樣就可以得到一個(gè)新的數(shù)列{c_n}，試求滿足等式c₁+c₂+…+c_m=2c_m+1的所有正整數(shù)m的值．

Answer 1

分析 （1）由a₁=b₁，a₂=b₂，可得$\left\{\begin{array}{l}{a=b}\\{a+b=ab}\end{array}\right.$，其中a，b均為正整數(shù)，解得a，b=2，即可得出a_n，b_n．
（2）對(duì)m分類討論：當(dāng)m=1時(shí)，原等式不成立．當(dāng)m=2時(shí)，原等式成立．當(dāng)m≥3時(shí)，若c_m+1=2，則c₁+c₂+…+c_m=2c_m+1不成立．因此c_m+1必是數(shù)列{b_n}中的某一項(xiàng)b_k+1，利用前n項(xiàng)和公式即可得出．

解答 解：（1）由a₁=b₁，a₂=b₂，可得$\left\{\begin{array}{l}{a=b}\\{a+b=ab}\end{array}\right.$，其中a，b均為正整數(shù)，
解得a=b=2．
∴a_n=2n，b_n=2ⁿ．
（2）當(dāng)m=1時(shí)，c₁=2，2c₂=4，原等式不成立．
當(dāng)m=2時(shí)，c₁+c₂=4，2c₃=4，原等式成立．
當(dāng)m≥3時(shí)，若c_m+1=2，則c₁+c₂+…+c_m=2c_m+1不成立．
因此c_m+1必是數(shù)列{b_n}中的某一項(xiàng)b_k+1，此時(shí)有c₁+c₂+…+c_m=（2+2²+…+2^k）+2（a₁+a₂+…+a_k）=2^k+1+2k²+2k-2，
2c_m+1=2b_k+1=2^k+2．
∵c₁+c₂+…+c_m=2c_m+1，
∴2^k+1+2k²+2k-2=2^k+2，化為2^k+1=k（k+1），
當(dāng)k∈N^*時(shí)，上式左邊為奇數(shù)，右邊為偶數(shù)，因而不成立．
∴當(dāng)m≥3時(shí)，原等式不成立．
綜上所述：滿足題意的正整數(shù)只有m=2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式、遞推關(guān)系，考查了分類討論方法、推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．