Question

9．在△ABC中，a，b，c分別為角A，B，C所對的邊，且2acosB+b=2c．
（1）求A；
（2）若a=3，sinB+sinC=$\sqrt{3}$sinA，求△ABC的面積．

Answer 1

分析 （1）根據余弦定理進行化簡求解即可．
（2）根據正弦定理先進行化簡，然后利用平方關系求出bc的值，利用三角形的面積公式進行求解即可．

解答 解：（1）由余弦定理得2a•$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-^{2}}{2ac}$+b=2c，
即a²+c²-b²+bc=2c²，
即b²+c²-a²=bc，
即cosA=$\frac{^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{bc}{2bc}$=$\frac{1}{2}$，
則在三角形內A=$\frac{π}{3}$．
（2）∵sinB+sinC=$\sqrt{3}$sinA，
∴b+c=$\sqrt{3}$a，
平方得b²+c²+2bc=3a²，
∵b²+c²-a²=bc，
∴b²+c²=a²+bc，
即a²+bc+2bc=3a²，
∴3bc=2a²=2×3²=18，即bc=6，
則△ABC的面積S=$\frac{1}{2}bcsinA$=$\frac{1}{2}×6×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$．

點評 本題主要考查解三角形的應用，利用正弦定理和余弦定理是解決本題的關鍵．