Question

1．已知點(diǎn)A（1，0），B（0，-1），P（λ，λ+1）（λ∈R）
（1）求證：∠APB恒為銳角；
（2）若四邊形ABPQ為菱形，求$\overrightarrow{BQ}•\overrightarrow{AQ}$的值．

Answer 1

分析 （1）求出向量PA，PB的坐標(biāo)，運(yùn)用向量為銳角的條件，計(jì)算數(shù)量積，即可得證；
（2）利用菱形的定義可求得點(diǎn)P，Q的坐標(biāo)，進(jìn)而得出．

解答 解：（1）∵點(diǎn)P（λ，λ+1）
∴$\overrightarrow{PA}=（1-λ，-λ-1），\overrightarrow{PB}=（-λ，-2-λ）$，
∴$\overrightarrow{PA•}\overrightarrow{PB}=-λ（1-λ）+（-λ-1）（-2-λ）$=$2{λ^2}+2λ+2=2{（λ+\frac{1}{2}）^2}+\frac{3}{2}＞0$
∴cos∠APB＞0．若A，P，B三點(diǎn)在一條直線上，則$\overrightarrow{PA}∥\overrightarrow{PB}$，
得到（λ-1）（λ+2）=λ（λ+1），此方程無(wú)解，
∴∠APB≠0，
∴∠APB恒為銳角．
（2）∵四邊形ABPQ為菱形，
∴$|{\overrightarrow{AB}}|=|{\overrightarrow{BP}}|$，
即$\sqrt{2}=\sqrt{{λ^2}+{{（λ+2）}^2}}$，
化簡(jiǎn)得到λ²+2λ+1=0解得λ=-1，
∴P（-1，0），
設(shè)Q（a，b），
∵$\overrightarrow{PQ}=\overrightarrow{BA}$，
∴（a+1，b）=（1，1），
∴a=0，b=1，
∴$\overrightarrow{BQ}•\overrightarrow{AQ}=2$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查向量的共線的坐標(biāo)表示，以及向量的夾角為銳角的條件，考查向量模的公式的運(yùn)用，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．