Question

19．求函數(shù)f（x）=$\frac{{x}^{2}+2x+3}{{x}^{2}+x+2}$在區(qū)間[0，+∞）上的最大值．

Answer 1

分析 先化簡(jiǎn)，再求導(dǎo)，得到函數(shù)f（x）的單調(diào)性，即可求出最值．

解答 解：f（x）=$\frac{{x}^{2}+2x+3}{{x}^{2}+x+2}$=$\frac{{x}^{2}+x+2+x+1}{{x}^{2}+x+2}$=1+$\frac{x+1}{{x}^{2}+x+2}$，
∴f′（x）=$\frac{{x}^{2}+x+2-（x+1）（2x+1）}{（{x}^{2}+x+2）^{2}}$=$\frac{-{x}^{2}-2x+1}{（{x}^{2}+x+2）^{2}}$，
令f′（x）=0，解得x=$\sqrt{2}$-1，
當(dāng)f′（x）＞0時(shí)，即x∈[0，$\sqrt{2}$-1），函數(shù)單調(diào)遞增，
當(dāng)f′（x）＜0時(shí)，即x∈[$\sqrt{2}$-1，+∞），函數(shù)單調(diào)遞減，
∴f（x）_max=f（$\sqrt{2}$-1）=1+$\frac{\sqrt{2}-1+1}{（\sqrt{2}-1）（\sqrt{2}-1+1）+2}$=1+$\frac{2\sqrt{2}+1}{6}$=$\frac{2\sqrt{2}+7}{6}$

點(diǎn)評(píng) 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)和函數(shù)最值得關(guān)系，關(guān)鍵是判斷函數(shù)的單調(diào)性，屬于中檔題．