Question

13．已知函數(shù)f（x）=2$\sqrt{3}sin（x+\frac{π}{4}）cos（x+\frac{π}{4}）+sin2x+a$的最大值為1．
（Ⅰ）求常數(shù)a的值；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用兩角和的正弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)可得：f（x）=$2sin（{2x+\frac{π}{3}}）+a≤1$，利用正弦函數(shù)的性質(zhì)即可得解a的值．
（Ⅱ）由$-\frac{π}{2}+2kπ≤2x+\frac{π}{3}≤\frac{π}{2}+2kπ$，即可解得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間．

解答 解：（Ⅰ）∵$f（x）=\sqrt{3}sin（{2x+\frac{π}{2}}）+sin2x+a=\sqrt{3}cos2x+sin2x+a$=$2sin（{2x+\frac{π}{3}}）+a≤1$，
∴2+a=1，
∴a=-1．
（Ⅱ）由$-\frac{π}{2}+2kπ≤2x+\frac{π}{3}≤\frac{π}{2}+2kπ$，解得$-\frac{5π}{12}+kπ≤x≤\frac{π}{12}+kπ$，
所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間$[{-\frac{5π}{12}+kπ，\frac{π}{12}+kπ}]，k∈Z$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了兩角和的正弦函數(shù)公式的應(yīng)用，考查了正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，屬于基本知識(shí)的考查．