【題目】已如橢圓C:的兩個焦點與其中一個頂點構(gòu)成一個斜邊長為4的等腰直角三角形.

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;

(2)設(shè)動直線l交橢圓CP,Q兩點,直線OPOQ的斜率分別為k,k.,求證OPQ的面積為定值,并求此定值.

【答案】(1);(2)△OPQ的面積為定值,且此定值為,見解析

【解析】

1)根據(jù)等腰直角三角形可知,,根據(jù)求解橢圓方程;(2)當(dāng)軸垂直時,設(shè),代入和橢圓方程,得到面積,當(dāng)軸不垂直時,設(shè)直線l的方程為,聯(lián)立方程,得到根與系數(shù)的關(guān)系,并表示面積,得到面積是定值.

(1)設(shè)橢圓C的左、右焦點分別為F1,F(xiàn)2.依題查,有,則

所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

(2)證明:①當(dāng)直線1與x軸垂直時,設(shè)直線l的方程為,,.

,且,解得,,,所以.

②當(dāng)直線l與x軸不垂直時,設(shè)直線l的方程為,.

聯(lián)立直線l和橢圓C的方程,得整理得.

,.

,則,即

所以,

,整理得,則.

,

點O到直線PQ的距離為,所以.

綜上,△OPQ的面積為定值,且此定值為.

練習(xí)冊系列答案
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知圓,圓,動圓與圓外切并與圓內(nèi)切,圓心的軌跡為曲線.

1)求的方程;

2)若直線與曲線交于兩點,問是否在軸上存在一點,使得當(dāng)變動時總有?若存在,請說明理由.

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(1)求曲線的方程;

(2)若,設(shè)過點的直線與曲線分別交于點,其中,求證:直線必過軸上的一定點。(其坐標(biāo)與無關(guān))

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【題目】已知函數(shù)f(x)=ln (x+1)-x,a∈R.

(1)當(dāng)a>0時,求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;

(2)若存在x>0,使f(x)+x+1<- (a∈Z)成立,求a的最小值.

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【題目】已知函數(shù),.

(1)求函數(shù)的極值;

(2)若函數(shù)有兩個零點,求實數(shù)取值范圍;

(3)若當(dāng)時,恒成立,求實數(shù)的最大值.

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【題目】選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程

在直角坐標(biāo)系中,過點的直線的參數(shù)方程為為參數(shù)),以坐標(biāo)原點為極點,以軸正半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系,已知曲線的極坐標(biāo)方程為,記直線與曲線分別交于兩點.

(1)求曲線的直角坐標(biāo)方程;

(2)證明:成等比數(shù)列.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】在全國第五個“扶貧日”到來之前,某省開展“精準(zhǔn)扶貧,攜手同行”的主題活動,某貧困縣調(diào)查基層干部走訪貧困戶數(shù)量.鎮(zhèn)有基層干部60,鎮(zhèn)有基層干部60,鎮(zhèn)有基層干部80,每人都走訪了若干貧困戶,按照分層抽樣,三鎮(zhèn)共選40名基層干部,統(tǒng)計他們走訪貧困戶的數(shù)量,并將走訪數(shù)量分成5,,繪制成如圖所示的頻率分布直方圖.

(1)求這40人中有多少人來自鎮(zhèn),并估計三鎮(zhèn)的基層干部平均每人走訪多少貧困戶;(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表)

(2)如果把走訪貧困戶達(dá)到或超過25戶視為工作出色,以頻率估計概率,三鎮(zhèn)的所有基層干部中隨機選取3,記這3人中工作出色的人數(shù)為,的分布列及數(shù)學(xué)期望.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】某城市自2014年至2019年每年年初統(tǒng)計得到的人口數(shù)量如表所示.

年份

2014

2015

2016

2017

2018

2019

人數(shù)(單位:萬)

2082

2135

2203

2276

2339

2385

(1)設(shè)第年的人口數(shù)量為(2014年為第1年),根據(jù)表中的數(shù)據(jù),描述該城市人口數(shù)量和2014年至2018年每年該城市人口的增長數(shù)量的變化趨勢;

(2)研究統(tǒng)計人員用函數(shù)擬合該城市的人口數(shù)量,其中的單位是年.假設(shè)2014年初對應(yīng)的單位是萬.設(shè)的反函數(shù)為,求的值(精確到0.1),并解釋其實際意義.

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【題目】已知是拋物線上任意一點,,且點為線段的中點.

(Ⅰ)求點的軌跡的方程;

(Ⅱ)若為點關(guān)于原點的對稱點,過的直線交曲線 兩點,直線交直線于點,求證:

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