【題目】已知是拋物線上任意一點(diǎn)，，且點(diǎn)為線段的中點(diǎn)．

（Ⅰ）求點(diǎn)的軌跡的方程；

（Ⅱ）若為點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)，過的直線交曲線于、 兩點(diǎn)，直線交直線于點(diǎn)，求證：．

【答案】（Ⅰ） （Ⅱ）見證明

【解析】

（Ⅰ）設(shè)，，根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得，代入曲線方程即可整理得到所求的軌跡方程；（Ⅱ）設(shè)，設(shè)，，將直線與曲線聯(lián)立可得；由拋物線定義可知，若要證得只需證明垂直準(zhǔn)線，即軸；由直線的方程可求得，可將點(diǎn)橫坐標(biāo)化簡為，從而證得軸，則可得結(jié)論.

（Ⅰ）設(shè)，

為中點(diǎn)

為曲線上任意一點(diǎn) ，代入得：

點(diǎn)的軌跡的方程為：

（Ⅱ）依題意得，直線的斜率存在，其方程可設(shè)為：

設(shè)，

聯(lián)立得：，則

直線的方程為，是直線與直線的交點(diǎn)

根據(jù)拋物線的定義等于點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離

在準(zhǔn)線上 要證明，只需證明垂直準(zhǔn)線

即證軸

的橫坐標(biāo)：

軸成立 成立

練習(xí)冊系列答案
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【題目】已如橢圓C：的兩個(gè)焦點(diǎn)與其中一個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)斜邊長為4的等腰直角三角形.

（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）設(shè)動(dòng)直線l交橢圓C于P，Q兩點(diǎn)，直線OP，OQ的斜率分別為k，k＇.若，求證△OPQ的面積為定值，并求此定值.

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【題目】在三棱柱中，底面是等腰三角形，且，側(cè)面 是菱形，，平面平面，點(diǎn)是的中點(diǎn)．

（1）求證：；

（2）求直線與平面所成角的正弦值．

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【題目】已知函數(shù) .

（1）當(dāng)時(shí)，

①求曲線在點(diǎn)處的切線方程；

②求函數(shù)在區(qū)間上的值域.

（2）對于任意，都有，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為.

（1）求曲線的直角坐標(biāo)方程與直線的極坐標(biāo)方程；

（2）若射線與曲線交于點(diǎn)（不同于原點(diǎn)），與直線交于點(diǎn)，直線與極軸所在直線交于點(diǎn).求的值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知數(shù)列｛｝的首項(xiàng)a1＝2，前n項(xiàng)和為，且數(shù)列｛｝是以為公差的等差數(shù)列·

（1）求數(shù)列｛｝的通項(xiàng)公式；

（2）設(shè)，，數(shù)列｛｝的前n項(xiàng)和為，

①求證：數(shù)列｛｝為等比數(shù)列，

②若存在整數(shù)m，n(m＞n＞1)，使得，其中為常數(shù)，且－2，求的所有可能值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】環(huán)保部門要對所有的新車模型進(jìn)行廣泛測試，以確定它的行車?yán)锍痰牡燃�，右表是�?100 輛新車模型在一個(gè)耗油單位內(nèi)行車?yán)锍蹋▎挝唬汗铮┑臏y試結(jié)果.

（Ⅰ）做出上述測試結(jié)果的頻率分布直方圖，并指出其中位數(shù)落在哪一組；

（Ⅱ）用分層抽樣的方法從行車?yán)锍淘趨^(qū)間[38,40)與[40,42)的新車模型中任取5輛，并從這5輛中隨機(jī)抽取2輛，求其中恰有一個(gè)新車模型行車?yán)锍淘赱40,42)內(nèi)的概率.

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【題目】已知函數(shù)，.

（1）恒成立的實(shí)數(shù)的最大值；

（2）設(shè)，，且滿足，求證：.

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【題目】某景區(qū)欲建兩條圓形觀景步道（寬度忽略不計(jì)），如圖所示，已知，（單位：米），要求圓M與分別相切于點(diǎn)B，D，圓與分別相切于點(diǎn)C，D．

（1）若，求圓的半徑；（結(jié)果精確到0.1米）

（2）若觀景步道的造價(jià)分別為每米0.8千元與每米0.9千元，則當(dāng)多大時(shí)，總造價(jià)最低？最低總造價(jià)是多少？（結(jié)果分別精確到0.1°和0.1千元）

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