Question

20．函數(shù)y=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）在同一個(gè)周期內(nèi)，當(dāng)x=$\frac{π}{4}$時(shí)y取最大值1，當(dāng)x=$\frac{7π}{12}$時(shí)，y取最小值-1．
（1）求函數(shù)的解析式y(tǒng)=f（x）；
（2）求函數(shù)的對(duì)稱軸、對(duì)稱中心、單調(diào)減區(qū)間．

Answer 1

分析 （1）通過(guò)同一個(gè)周期內(nèi)，當(dāng) $x=\frac{π}{4}$時(shí)y取最大值1，當(dāng) $x=\frac{7π}{12}$時(shí)，y取最小值-1．求出函數(shù)的周期，利用最值求出φ，即可求函數(shù)的解析式y(tǒng)=f（x）．
（2）根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，即可得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，結(jié)合函數(shù)的對(duì)稱軸和對(duì)稱中心的定義進(jìn)行求解即可．

解答 解：（1）∵函數(shù)在同一個(gè)周期內(nèi)，當(dāng)x=$\frac{π}{4}$時(shí)y取最大值1，當(dāng)x=$\frac{7π}{12}$時(shí)，y取最小值-1，
∴T=$\frac{2π}{ω}=2×（\frac{7π}{12}-\frac{π}{4}）$=$\frac{2π}{3}$，
∴ω=3．
∵$sin（\frac{3}{4}π+φ）=1$，
∴$\frac{3π}{4}+φ=2kπ+\frac{π}{2}$（k∈Z），
即φ=2kπ-$\frac{π}{4}$，
又∵|φ|＜$\frac{π}{2}$，
∴可得 $φ=-\frac{π}{4}$，
∴函數(shù) $f（x）=sin（3x-\frac{π}{4}）$．
（2）$令3x-\frac{π}{4}=\;kπ+\frac{π}{2}$，
得x=$\frac{kπ}{3}+\frac{π}{4}$，
即f（x）的對(duì)稱軸為x=$\frac{kπ}{3}+\frac{π}{4}$（k∈Z）；
由3x-$\frac{π}{4}$=kπ，即x=$\frac{kπ}{3}$+$\frac{π}{12}$，即函數(shù)的對(duì)稱中心為（$\frac{kπ}{3}$+$\frac{π}{12}$，0），
令$\frac{π}{2}$+2kπ≤$3x-\frac{π}{4}$≤$\frac{3π}{2}$+2kπ，k∈Z，
解得$\frac{2kπ}{3}$+$\frac{π}{4}$≤x≤$\frac{2kπ}{3}$+$\frac{7π}{12}$，
即函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為為[$\frac{2kπ}{3}$+$\frac{π}{4}$，$\frac{2kπ}{3}$+$\frac{7π}{12}$]，k∈Z．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查求三角函數(shù)的解析式與三角函數(shù)的有關(guān)基本性質(zhì)，如函數(shù)的對(duì)稱性，單調(diào)性，掌握基本函數(shù)的基本性質(zhì)，是學(xué)好數(shù)學(xué)的關(guān)鍵．