Question

14．設(shè)函數(shù)f（x）=$\sqrt{a{x}^{2}+x+1}$（a＜0）的定義域?yàn)镈，若所有點(diǎn)（s，f（t））（s、t∈D）構(gòu)成一個(gè)正方形區(qū)域，則函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（　　）

• A． （-∞，$\frac{1}{8}$]
• B． [$\frac{1-\sqrt{17}}{8}$，$\frac{1}{8}$]
• C． [$\frac{1-\sqrt{17}}{8}$，$\frac{1+\sqrt{17}}{8}$]
• D． [$\frac{1}{8}$，+∞）

Answer 1

分析 由所有的點(diǎn)（s，f（t））（s，t∈D）構(gòu)成一個(gè)正方形區(qū)域知，函數(shù)的定義域與值域的區(qū)間長度相等，利用二次函數(shù)的最值與二次方程的根，先求出a的取值，然后結(jié)合復(fù)合函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系即可得到結(jié)論．

解答 解：由題意可知：所有點(diǎn)（s，f（t））（s，t∈D）構(gòu)成一個(gè)正方形區(qū)域，
則對于函數(shù)f（x），其定義域的x的長度和值域的長度是相等的，
f（x）的定義域?yàn)閍x²+bx+c≥0的解集，
設(shè)x₁、x₂是方程ax²+bx+c=0的根，且x₁＜x₂
則定義域的長度為|x₁-x₂|=$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{（-\frac{a}）^{2}-\frac{4c}{a}}$=$\sqrt{\frac{^{2}-4ac}{{a}^{2}}}$，

而f（x）的值域?yàn)閇0，$\sqrt{\frac{4ac-^{2}}{4a}}$]，
則由$\sqrt{\frac{^{2}-4ac}{{a}^{2}}}$=$\sqrt{\frac{4ac-^{2}}{4a}}$，
得|a|=2$\sqrt{-a}$，平方解得a=-4．
此時(shí)f（x）=$\sqrt{-4{x}^{2}+x+1}$，
設(shè)t=-4x²+x+1，對稱軸為x=$\frac{1}{8}$，
則由t=-4x²+x+1≥0得4x²-x-1≤0，
解得$\frac{1-\sqrt{17}}{8}$≤x≤$\frac{1+\sqrt{17}}{8}$，
∵y=$\sqrt{t}$是增函數(shù)，
∴要求函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為，即求t=-4x²+x+1遞增區(qū)間，
∵t=-4x²+x+1遞增區(qū)間是[$\frac{1-\sqrt{17}}{8}$，$\frac{1}{8}$]
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為[$\frac{1-\sqrt{17}}{8}$，$\frac{1}{8}$]，
故選：B．

點(diǎn)評 本題考查復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷以及二次函數(shù)的性質(zhì)問題．根據(jù)條件求出a的取值是解決本題的關(guān)鍵．在解答的過程當(dāng)中充分體現(xiàn)了問題轉(zhuǎn)化的思想、解方程的思想以及運(yùn)算的能力．運(yùn)算量較大，綜合性較強(qiáng)，有一定的難度．