Question

5．若方程x²+ax+b=0的一個根在（0，1）內(nèi)，另一個根在（1，2）內(nèi)，則$\frac{b-2}{a-1}$的取值范圍（0，1）．

Answer 1

分析 設(shè)f（x）=x²+ax+b，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)與零點存在性定理可得f（0）＞0、f（1）＜0且f（2）＞0．由此建立關(guān)于a、b的二元一次不等式組，設(shè)點E（a，b）為區(qū)域內(nèi)的任意一點，根據(jù)直線的斜率公式可得k=$\frac{b-2}{a-1}$ 表示M、E連線的斜率，將點E在區(qū)域內(nèi)運動并觀察直線的傾斜角的變化，即可算出k的取值范圍．

解答 解：令f（x）=x²+ax+b，由方程x²+ax+b=0的一個根在（0，1）內(nèi)，另一個根在（1，2）內(nèi)，
可得$\left\{\begin{array}{l}{f（0）=b＞0}\\{f（1）=a+b+1＜0}\\{f（2）=2a+b+4＞0}\end{array}\right.$，畫出（a，b）的區(qū)域，如圖所示，△ABC的區(qū)域（不含邊界）．
其中，A（-1，0）、B（-2，0）、點C（-3，2），
再根據(jù)式子則$\frac{b-2}{a-1}$表示可行域內(nèi)的點E（x，y）與點M（1，2）連線的斜率k，
由于點A對應(yīng)的k=$\frac{2-0}{1-（-1）}$=1，點C對應(yīng)的k=0，
故k的范圍為（0，1），
故答案為：（0，1）．

點評 本題著重考查了二次函數(shù)的性質(zhì)、零點存在性定理、二元一次不等式組表示的平面區(qū)域、直線的斜率公式與兩點間的距離公式等知識，屬于中檔題．