Question

12．設(shè)等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，已知a₃=12，S₁₂＞0，S₁₃＜0．
（1）求數(shù)列{a_n}的公差d的取值范圍；
（2）求數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n取得最大值時(shí)n的值．

Answer 1

分析 （1）由a₃=12可得a₁=12-2d，由求和公式代入S₁₂＞0和S₁₃＜0可得d的不等式組，解不等式組可得；
（2）由等差數(shù)列的性質(zhì)和求和公式可得a₆＞0，a₇＜0，可得數(shù)列{a_n}的前6項(xiàng)均為正數(shù)，從第7項(xiàng)開(kāi)始為負(fù)數(shù)，可得結(jié)論．

解答 解：（1）由a₃=12可得a₁+2d=12，∴a₁=12-2d，
又∵S₁₂=12a₁+$\frac{12×11}{2}$d=12（12-2d）+$\frac{12×11}{2}$d＞0，∴d＞-$\frac{24}{7}$
同理由S₁₃=13a₁+$\frac{13×12}{2}$d=13（12-2d）+$\frac{13×12}{2}$d＜0，∴d＜-3
∴數(shù)列{a_n}的公差d的取值范圍為（$-\frac{24}{7}$，-3）；
（2）由題意可得S₁₂=$\frac{12（{a}_{1}+{a}_{12}）}{2}$=6（a₁+a₁₂）=6（a₆+a₇）＞0，
S₁₃=$\frac{13（{a}_{1}+{a}_{13}）}{2}$=$\frac{13×2{a}_{7}}{2}$=13a₇＜0，
∴a₆+a₇＞0，a₇＜0，∴a₆＞0，a₇＜0，
∴數(shù)列{a_n}的前6項(xiàng)均為正數(shù)，從第7項(xiàng)開(kāi)始為負(fù)數(shù)，
∴數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n取得最大值時(shí)n的值為6

點(diǎn)評(píng) 本題考查等差數(shù)列的性質(zhì)和求和公式，涉及前n項(xiàng)和的最值，屬中檔題．