Question

14．四邊形ABCD中，$\overrightarrow{AB}$=（3，2），$\overrightarrow{BC}$=（x，y），$\overrightarrow{CD}$=（-2，-3）
（1）若$\overrightarrow{BC}$∥$\overrightarrow{DA}$，試求x與y滿足的關(guān)系式；
（2）滿足（1）同時又有$\overrightarrow{AC}$⊥$\overrightarrow{BD}$，求x，y的值及四邊形ABCD的面積．

Answer 1

分析 （1）可求出向量$\overrightarrow{AD}=（x+1，y-1）$，而由$\overrightarrow{BC}$∥$\overrightarrow{DA}$可得到$\overrightarrow{BC}$∥$\overrightarrow{AD}$，根據(jù)平行向量的坐標(biāo)關(guān)系便可得出x，y滿足的關(guān)系式為x+y=0；
（2）可求出$\overrightarrow{AC}，\overrightarrow{BD}$的坐標(biāo)，根據(jù)$\overrightarrow{AC}⊥\overrightarrow{BD}$有$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{BD}=0$，這樣即可得出一個關(guān)于x，y的方程，而聯(lián)立x+y=0即可解出x，y的值，從而得出$\overrightarrow{AC}，\overrightarrow{BD}$的坐標(biāo)，進一步即可求出$|\overrightarrow{AC}|，|\overrightarrow{BD}|$的值，而根據(jù)$\overrightarrow{AC}⊥\overrightarrow{BD}$可知${S}_{四邊形ABCD}=\frac{1}{2}|\overrightarrow{AC}||\overrightarrow{BD}|$，從而便可得出四邊形ABCD的面積．

解答 解：（1）$\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}=（x+1，y-1）$，$\overrightarrow{BC}=（x，y）$；
若$\overrightarrow{BC}$∥$\overrightarrow{DA}$，則$\overrightarrow{BC}$∥$\overrightarrow{AD}$；
∴x（y-1）-y（x+1）=-x-y=0；
即x與y滿足的關(guān)系式為x+y=0；
（2）$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=（x+3，y+2）$，$\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}=（x-2，y-3）$；
∵$\overrightarrow{AC}⊥\overrightarrow{BD}$；
∴$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{BD}=（x+3）（x-2）+（y+2）（y-3）=0$；
又x，y滿足x+y=0，∴將y=-x帶入上式解得：
x=2，或-3；
∴$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=-2}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{x=-3}\\{y=3}\end{array}\right.$；
∴$\overrightarrow{AC}=（5，0），\overrightarrow{BD}=（0，-5）$，或$\overrightarrow{AC}=（0，5），\overrightarrow{BD}=（-5，0）$；
∴$|\overrightarrow{AC}|=|\overrightarrow{BD}|=5$；
∵$\overrightarrow{AC}⊥\overrightarrow{BD}$；
∴${S}_{四邊形ABCD}=\frac{1}{2}|\overrightarrow{AC}||\overrightarrow{BD}|=\frac{25}{2}$．

點評 考查向量加法的幾何意義，以及向量坐標(biāo)的加法運算，平行向量的坐標(biāo)關(guān)系，向量垂直的充要條件，以及向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算，根據(jù)向量的坐標(biāo)可求向量的長度，三角形的面積公式．