Question

10．已知tanα，tanβ是方程x²+px-q=0的兩根．
（1）用p，q表示tan（α+β）；
（2）是否存在負數(shù)p，q使得sin²（α+β）+psin（α+β）cos（α+β）-qcos²（α+β）-p=2且pq=1？若存在，求出p，q的值，若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）tanα，tanβ是方程x²+px-q=0的兩根，所以根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系求出tanα+tanβ和tanαtanβ的值，然后利用兩角和正切函數(shù)公式求出tan（α+β）的值．
（2）把所求的式子提取cos²（α+β）=$\frac{1}{1+{tan}^{2}（α+β）}$后得到關(guān)于tan（α+β）的關(guān)系式，把tan（α+β）的值代入已知條件，得到p、q的方程，利用pq=1求解即可．

解答 解：（1）由韋達達定理知$\left\{\begin{array}{l}tanα+tanβ=-p\\ tanα•tanβ=-q\end{array}\right.$，又tan（α+β）=$\frac{tanα+tanβ}{1-tanαtanβ}$=-$\frac{p}{1+q}$．
（2）sin²（α+β）+psin（α+β）cos（α+β）+qcos²（α+β）
sin²（α+β）+psin（α+β）cos（α+β）-qcos²（α+β）-p=2，
可得cos²（α+β）[tan²（α+β）+ptan（α+β）-q]=2+p，
cos²（α+β）[tan²（α+β）+ptan（α+β）-q]
即：$\frac{1}{1+{tan}^{2}（α+β）}$[tan²（α+β）+ptan（α+β）-q]
=$\frac{1}{1+\frac{{p}^{2}}{（1+{q）}^{2}}}$[$\frac{{p}^{2}}{{（1+q）}^{2}}$-$\frac{{p}^{2}}{1+q}$-q]
=$-\frac{q（{p}^{2}+{q}^{2}+2q+1）}{1+{p}^{2}+{q}^{2}+2q}$=-q=2+p．
即p+q+2=0．又pq=1，解得p=q=-1．

點評 考查學(xué)生靈活運用兩角和與差的正切函數(shù)公式及同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系化簡求值，靈活運用韋達定理解決數(shù)學(xué)問題，屬于中檔題