Question

7．已知函數(shù)f（x）=ax²-blnx在點（1，f（1））處的切線為y=2．
（1）求實數(shù)a，b的值；
（2）是否存在實數(shù)m，當x∈（0，1]時，函數(shù)g（x）=f（x）-2x²+m（x-1）的最小值為0？若存在，求出m的取值范圍；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，建立方程關(guān)系即可求實數(shù)a，b的值；
（2）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用函數(shù)的最小值，建立條件關(guān)系即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）f′（x）=2ax-$\frac{x}$（x＞0），
依題意可得$\left\{\begin{array}{l}{f（1）=2ax=2}\\{f（1）=2a-b=0}\end{array}\right.$
解得a=2，b=4；
（2）∵g（x）=f（x）-2x²+m（x-1）=m（x-1）-4ln x，x∈（0，1]，
∴g′（x）=m-$\frac{4}{x}$=$\frac{mx-4}{x}$，
①當m≤0時，g′（x）＜0，∴g（x）在（0，1]上單調(diào)遞減，
∴g（x）_min=g（1）=0．
②當0＜m≤4時，g′（x）=$\frac{m（x-\frac{4}{m}）}{x}$≤0，∴g（x）在（0，1]上單調(diào)遞減，
∴g（x）_min=g（1）=0．
③當m＞4時，g′（x）＜0在（0，$\frac{4}{m}$）上恒成 立，g′（x）＞0在（$\frac{4}{m}$，1]上恒成立，
∴g（x）在（0，$\frac{4}{m}$）上單調(diào)遞減，在（$\frac{4}{m}$，1]上單調(diào)遞增，
∴g（$\frac{4}{m}$）＜g（1）=0，
∴g（x）_min≠0．
綜上 所述，存在m滿足題意，其范圍為（-∞，4]．

點評 本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義以及函數(shù)單調(diào)性，最值與函數(shù)導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系，綜合性較強，有一定的難度．