Question

19．已知函數(shù)f（x）=a^x|a^x-2|，（a＞0，a≠1）
（1）解方程f（x）=3；
（2）當(dāng)x∈（0，1]時(shí)，關(guān)于x的不等式f（x）＜3恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）設(shè)t=a^x，則t＞0，f（x）=3，可化為t|t-2|=3，再分類討論，即可得出結(jié)論；
（2）x∈（0，1]，t介于1，a之間，分類討論，得出0＜t＜3，即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）設(shè)t=a^x，則t＞0，
f（x）=3，可化為t|t-2|=3，
t≥2，t²-2t-3=0，∴t=3，∴x=log_a3
0＜t＜2，t²-2t+3=0，無(wú)解；
（2）x∈（0，1]，∴t介于1，a之間．
t|t-2|＜3，化為t≥2，t²-2t-3＜0，∴2≤t＜3
0＜t＜2，t²-2t+3＞0，恒成立，
∴0＜t＜3．
1＜a＜3時(shí)，1＜t≤a，0＜x≤1；a≥3時(shí)，1＜t＜3，0＜x＜log_a3；0＜a＜1時(shí)，a≤t＜1，0＜x≤1
綜上，0＜a＜1或1＜a＜3．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)恒成立問(wèn)題，考查換元法的運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．