Question

11．已知函數(shù)y=$\sqrt{\frac{2-x}{2+x}}$+lg（-x²+4x-3）的定義域?yàn)镸．
（1）求M；
（2）當(dāng)x∈M使，求函數(shù)f（x）=4^x-a•2^x+2（a＞1）的最小值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)得到關(guān)于x的不等式組，解出即可求出集合M；（2）通過(guò)換元法結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求出其閉區(qū)間上的最值即可．

解答 解：（1）由題意得：
$\left\{\begin{array}{l}{\frac{2-x}{2+x}≥0}\\{2+x≠0}\\{{-x}^{2}+4x-3＞0}\end{array}\right.$，
解得：1＜x≤2，
∴M=（1，2]；
（2）f（x）=2^2x-4a2^x，x∈（1，2]，
令t=2^x，則t∈（2，4]，
∴f（x）=f（t）=t²-4at=（t-2a）²-4a²，
∵a＞1，∴2a＞2，
f（t）的對(duì)稱(chēng)軸是：x=2a，
當(dāng)2＜2a＜4即1＜a＜2時(shí)：
f（t）在（1，2a）遞減，在（2a，4]遞增，
∴f（t）_min=f（2a）=-4a²，
當(dāng)2a≥4即a≥2時(shí)：
f（t）在（2，4]遞減，
f（t）_min=f（4）=16-16a．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了求函數(shù)的定義域問(wèn)題，考查二次函數(shù)的性質(zhì)以及函數(shù)的最值問(wèn)題，是一道基礎(chǔ)題．