Question

13．如圖，在正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=1，A₁A=2，點(diǎn)E是棱CC₁的中點(diǎn)
（Ⅰ）求異面直線AE與BD₁所成角的余弦值．
（Ⅱ）求直線BD₁與平面AB₁E所成角的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）首先建立空間直角坐標(biāo)系，進(jìn)一步求出空間的點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)一步求出$\overrightarrow{AE}=（-1，0，1）$，$\overrightarrow{{BD}_{1}}=（-1，-1，2）$，最后利用向量的夾角求出結(jié)果．
（Ⅱ）根據(jù)上部的結(jié)論，利用平面的法向量求出平面的法向量與直線的夾角，最后轉(zhuǎn)化成直線與平面的夾角．

解答 解：（Ⅰ）根據(jù)已知條件，建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz，
由于：在正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=1，A₁A=2，點(diǎn)E是棱CC₁的中點(diǎn)，
所以：A（1，0，0），E（0，0，1），B（1，1，0，），$\begin{array}{c}{D}_{1}\end{array}\right.$（0，0，2），B₁（1，1，2），
則：$\overrightarrow{AE}=（-1，0，1）$，$\overrightarrow{{BD}_{1}}=（-1，-1，2）$．
設(shè)：異面直線AE與BD₁所成角為θ，
則$cosθ=\left|\frac{\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{{BD}_{1}}}{\left|\overrightarrow{AE}\right|\left|\overrightarrow{{BD}_{1}}\right|}\right|$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
（Ⅱ）設(shè)平面AB₁E的法向量為$\overrightarrow{n}=（x，y，z）$，
根據(jù)（Ⅰ）的點(diǎn)的坐標(biāo)進(jìn)一步求出：$\overrightarrow{{AB}_{1}}=（0，1，2）$，$\overrightarrow{AE}=（-1，0，1）$
則：$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{{AB}_{1}}•\overrightarrow{n}=0\\ \overrightarrow{AE}•\overrightarrow{n}=0\end{array}\right.$
解得：$\overrightarrow{n}=（1，-2，1）$
設(shè)直線BD₁與平面AB₁E所成角為α，
則：sinα=$cos＜\overrightarrow{n}，\overrightarrow{{BD}_{1}}＞$=$\frac{\overrightarrow{{BD}_{1}•\overrightarrow{n}}}{\left|\overrightarrow{n}\right||\overrightarrow{{BD}_{1}|}}$=$\frac{1}{2}$
所以直線BD₁與平面AB₁E所成角為30°，
所以直線BD₁與平面AB₁E所成角的余弦值為$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

點(diǎn)評 本題考查的知識要點(diǎn)：空間直角坐標(biāo)系的應(yīng)用，法向量的應(yīng)用，利用向量的夾角公式求異面直線的夾角，利用法向量求線面的夾角問題，及相關(guān)的運(yùn)算問題．