Question

1．已知函數(shù)f（x）=$\frac{3}{1+|x|}$+$\frac{3}{1+|x-2|}$，則方程f[f（x）]=$\frac{10}{3}$的實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)是（　�。�

• A． 0
• B． 2
• C． 4
• D． 6

Answer 1

分析 利用換元法，將方程進(jìn)行轉(zhuǎn)化，作出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合進(jìn)行求解即可．

解答 解：①當(dāng)x≥2時(shí)，f（x）=$\frac{3}{1+x}$+$\frac{3}{1+x-2}$=$\frac{3}{1+x}$+$\frac{3}{x-1}$=$\frac{6x}{{x}^{2}-1}$，
設(shè)t=f（x），則由f[f（x）]=$\frac{10}{3}$得f（t）=$\frac{10}{3}$，t≥2，
即$\frac{6t}{{t}^{2}-1}$=$\frac{10}{3}$，
即5t²-9t-5=0，得t=$\frac{9±\sqrt{181}}{10}$，此時(shí)t=$\frac{9+\sqrt{181}}{10}$．
②當(dāng)0＜x＜2時(shí)，f（x）=$\frac{3}{1+x}$+$\frac{3}{1-x+2}$=$\frac{3}{1+x}$+$\frac{3}{3-x}$=-$\frac{12}{{x}^{2}-2x-3}$，
由f（t）=$\frac{10}{3}$，0＜t＜2，
得$-\frac{12}{{t}^{2}-2t-3}$=$\frac{10}{3}$，即5t²-10t+3=0，（0＜t＜2）
得t=$\frac{10+\sqrt{100-4×5×3}}{10}$=$\frac{10+\sqrt{40}}{10}=\frac{10+2\sqrt{10}}{10}$=$\frac{5+\sqrt{10}}{10}$或t=$\frac{5-\sqrt{10}}{10}$（舍）．
③當(dāng)x≤0時(shí)，f（x）=$\frac{3}{1-x}$+$\frac{3}{1-x+2}$=$\frac{3}{1-x}$+$\frac{3}{3-x}$=-$\frac{6（x-2）}{{x}^{2}-4x+3}$，
由f（t）=$\frac{10}{3}$，t≤0，
得$-\frac{6（t-2）}{{t}^{2}-4t+3}$=$\frac{10}{3}$，
即5t²-11t-3=0
得t=$\frac{11+\sqrt{181}}{10}$（舍）或t=$\frac{11-\sqrt{181}}{10}$．
作出f（x）的圖象如圖：
分別作出y=$\frac{9+\sqrt{181}}{10}$和y=$\frac{5+\sqrt{10}}{10}$和y=$\frac{11-\sqrt{181}}{10}$的圖象，
由圖象知，共有4個(gè)交點(diǎn)，即方程f[f（x）]=$\frac{10}{3}$的實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)有4個(gè)，
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)與方程的應(yīng)用，利用換元法結(jié)合數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強(qiáng)，難度較大．