Question

9．已知變量x，y滿足約束條件$\left\{\begin{array}{l}x+y-1≥0\\ x-1≤0\\ 3x-y+1≥0\end{array}\right.$，則目標函數(shù)$z=\frac{y+1}{x+1}$的取值范圍是（　�。�

• A． $[{\frac{1}{2}，\frac{5}{2}}]$
• B． $（{-∞，\frac{1}{2}}]$
• C． $[{\frac{1}{2}，2}]$
• D． $[{\frac{5}{2}，+∞}）$

Answer 1

分析 由約束條件作出可行域，由$z=\frac{y+1}{x+1}$的幾何意義，即可行域內(nèi)的動點與定點P（-1，-1）連線的斜率求得答案．

解答 解：由約束條件$\left\{\begin{array}{l}x+y-1≥0\\ x-1≤0\\ 3x-y+1≥0\end{array}\right.$作出可行域如圖，

A（1，0），
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{3x-y+1=0}\end{array}\right.$，解得B（1，4），
$z=\frac{y+1}{x+1}$的幾何意義為可行域內(nèi)的動點與定點P（-1，-1）連線的斜率，
∵${k}_{PA}=\frac{-1-0}{-1-1}=\frac{1}{2}$，${k}_{PB}=\frac{-1-4}{-1-1}=\frac{5}{2}$，
∴數(shù)$z=\frac{y+1}{x+1}$的取值范圍是[$\frac{1}{2}$，$\frac{5}{2}$]．
故選：A．

點評 本題考查簡單的線性規(guī)劃，考查了數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，是中檔題．