Question

19．已知函數(shù)f（x）=Asin（ωx+θ）+1，（A＞0，0＜θ＜π），振幅為1，圖象兩個相鄰最高點間距離為π，圖象的一條對稱軸方程為$x=\frac{π}{8}$，若將f（x）的圖象向右平移$\frac{π}{8}$個單位，再向下平移一個單位得到函數(shù)g（x）圖象．
（1）求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）在△ABC中，若$g（\frac{B}{2}）g（\frac{C}{2}）={[{g（\frac{A+π}{4}）}]^2}$，試判斷△ABC的形狀．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)振幅求A，由周期求ω，根據(jù)圖象的對稱軸方程求出θ，可得f（x）的解析式，再利用正弦函數(shù)的單調(diào)性求得f（x）的增區(qū)間．
（2）先由y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律求得g（x）的解析式，再利用三角恒等變換判斷三角形的形狀．

解答 解：（1）由題意可得A=1，$\frac{2π}{ω}$=π，∴ω=2，
再根據(jù)圖象的一條對稱軸方程為$x=\frac{π}{8}$，可得2•$\frac{π}{8}$+θ=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，
即θ=kπ+$\frac{π}{4}$，∴θ=$\frac{π}{4}$，f（x）=sin（2x+$\frac{π}{4}$）+1．
令2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{4}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，可得kπ-$\frac{3π}{8}$≤x≤kπ+$\frac{π}{8}$，
故函數(shù)f（x）的增區(qū)間為[kπ-$\frac{3π}{8}$，kπ+$\frac{π}{8}$]，k∈Z．
（2）將f（x）的圖象向右平移$\frac{π}{8}$個單位，可得y=sin[2（x-$\frac{π}{8}$）+$\frac{π}{4}$]+1=sin2x+1的圖象；
再向下平移一個單位得到函數(shù)g（x）=sin2x的圖象．
在△ABC中，若$g（\frac{B}{2}）g（\frac{C}{2}）={[{g（\frac{A+π}{4}）}]^2}$，則sinB•sinC=${sin}^{2}\frac{A+π}{2}$=$\frac{1+cosA}{2}$，
即2sinB•sinC=1-cos（B+C）=1-cosBcosC+sinBsinC，
化簡可得 cos（B-C）=1．
再結(jié)合B-C∈（-π，π），可得B=C，故△ABC為等腰三角形．

點評 本題主要考查由由函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的部分圖象求解析式，正弦函數(shù)的增區(qū)間，y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，三角恒等變換，屬于中檔題．