Question

15．設(shè)數(shù)列{a_n}是公差為d的等差數(shù)列，數(shù)列{b_n}是公比為q（q≠1）的等比數(shù)列，記S_n為數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和．
（1）若S₃，S₁₃，S₈成等差數(shù)列．
    ①求證：b_m+1，b_m+11，b_m+6（m∈N⁺}成等差數(shù)列；
    ②是否存在正整數(shù)k，使得（S_k）²，（S_k+10）²，（S_k+5）²成等差數(shù)列？并說明理由；
（2）若公差d＞0，公比q＞1．集合{a₁，a₂，a₃}∪{b₁，b₂，b₃}={1，2，3，4，5}，從{a_n}中取出s（s∈N⁺，s＞1）項(xiàng)，從{b_n}中取出t（t∈N⁺，t＞1）項(xiàng)，按照某一順序排列構(gòu)成s+t項(xiàng)的等差數(shù)列{C_n}，當(dāng)s+t取到最大值時(shí)，求數(shù)列{C_n}的通項(xiàng)公式．

Answer 1

分析 （1）①由題意列式求得2q¹⁰=1+q⁵，進(jìn)一步得到$2{a}_{1}{q}^{m+10}={a}_{1}{q}^{m}+{a}_{1}{q}^{m+5}$，即b_m+1，b_m+11，b_m+6（m∈N⁺}成等差數(shù)列；
②假設(shè)存在正整數(shù)k，使得（S_k）²，（S_k+10）²，（S_k+5）²成等差數(shù)列，由等差數(shù)列的性質(zhì)可得${q}^{5}=-\frac{1}{2}$．代入S₁，S₁₃，S₈驗(yàn)證不成立；
（2）由題意可得a₁=1，a₂=3，a₃=5，b₁=1，b₂=2，b₃=4，求得${a}_{n}=2n-1，_{n}={2}^{n-1}$，結(jié)合s＞1，t＞1，可得從{a_n}，{b_n}中至少各取兩項(xiàng)，然后分{b_n}中不取1和{b_n}中取1討論求得：c_n=n．

解答 （1）①證明：∵S₃，S₁₃，S₈成等差數(shù)列，∴2S₁₃=S₃+S₈，
又∵q≠1，∴$\frac{2{a}_{1}（1-{q}^{13}）}{1-q}=\frac{{a}_{1}（1-{q}^{3}）}{1-q}+\frac{{a}_{1}（1-{q}^{8}）}{1-q}$，即2q¹³=q³+q⁸，
∴2q¹⁰=1+q⁵，則$2{a}_{1}{q}^{m+10}={a}_{1}{q}^{m}+{a}_{1}{q}^{m+5}$，即2b_m+11=b_m+1+b_m+6，
∴b_m+1，b_m+11，b_m+6成等差數(shù)列；
②解：假設(shè)存在正整數(shù)k，使得（S_k）²，（S_k+10）²，（S_k+5）²成等差數(shù)列，
則2（S_k+10）²=（S_k）²+（S_k+5）²，
∴$2（\frac{{a}_{1}（1-{q}^{k+10}）}{1-q}）^{2}=（\frac{{a}_{1}（1-{q}^{k}）}{1-q}）^{2}+（\frac{{a}_{1}（1-{q}^{k+5}）}{1-q}）^{2}$，
∴2（1-q^k+10）²=（1-q^k）²+（1-q^k+5）²，
由2q¹⁰=1+q⁵，得${q}^{5}=-\frac{1}{2}$．
代入化簡得：$\frac{9}{8}{q}^{2k}=0$．
∴q不存在；
（2）解：∵d＞0，q＞1．且{a₁，a₂，a₃}∪{b₁，b₂，b₃}={1，2，3，4，5}，
∴a₁=1，a₂=3，a₃=5，b₁=1，b₂=2，b₃=4，
∴${a}_{n}=2n-1，_{n}={2}^{n-1}$，
∵s＞1，t＞1，
∴從{a_n}，{b_n}中至少各取兩項(xiàng)，
若{b_n}中不取1，則{b_n}中取出的數(shù)都是偶數(shù)，而數(shù)列{a_n}中全是奇數(shù)，
∴數(shù)列{C_n}中的項(xiàng)必是奇偶相間，
∵$_{n}={2}^{n}-1$，∴b_n-b_j＜b_k-b_n，則取出的等比數(shù)列的項(xiàng)只能為兩項(xiàng)，
數(shù)列{a_n}中的項(xiàng)最多取出三項(xiàng)，若取出的項(xiàng)多于三項(xiàng)，則數(shù)列{c_n}中必有連續(xù)兩項(xiàng)是數(shù)列{a_n}中的項(xiàng)，
∴（s+t）_max=5，
另外，要使得（s+t）_max=5，數(shù)列{c_n}不可能是b_i，a_j，b_m，a_n，b_k，…，
∵b_m-b_i＜b_k-b_m，∴{c_n}不可能是等差數(shù)列．
下面證明（s+t）_max=5能取到：
設(shè)數(shù)列{c_n}的公差為d₁，
∵a_i，b_j，a_m，b_n，a_k成等差數(shù)列，
∴$iu2l1d6_{1}={2}^{j-1}-（2i-1）$，
∴b_k=a_i+3d₁，即2^k-1=3•2^j-1-2（2i-1）且h≥j+1，
若h≥j+2，則2^k-1≥2^j+1，即3•2^j-1-2（2i-1）≥2^j+1，
化簡得：-2（2i-1）≥2^j-1，矛盾，
∴h=j+1，
∴3•2^j-1-2（2i-1）=2^j，有2i-1=2^j-2，
∵2i-1為奇數(shù)，∴j=2，h=3．
∴b_j=b₂=2，b_k=b₃=4，
∴c_n=n；
若數(shù)列{b_n}中取1，可以將1看成數(shù)列{a_n}，
則數(shù)列{c_n}為1，b_i，a_j，b_m，a_n，
∴b_m=1+3d₁，即2^m-1=1+3（2^i-1-1），
若m≥i+2，則2^m-1≥2ⁱ⁺¹，即3•2^i-1-2≥2ⁱ⁺¹，
化簡得：-2≥2^i-1，矛盾．
∴m=i+1，
∴2²=3•2^i-1-2，即2^i-1=2，得i=2，
∴b_i=b₂=2，
∴c_n=n．
綜上所得：c_n=n．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列遞推式，考查了數(shù)列的函數(shù)特性，考查了等差數(shù)列的性質(zhì)，訓(xùn)練了學(xué)生的邏輯思維能力和運(yùn)算求解能力，屬難題．